Плотностью распределения вероятностей Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x) :
Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима.
Плотность распределения вероятностей f(x) – называют дифференциальной функцией распределения:
Свойство 1. Плотность распределения - величина неотрицательная:
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:
Пример 1.25. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
f(x) .
Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти плотность распределения.
2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти плотность распределения f(x).
1.3. Числовые характеристики непрерывной случайной
величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
a,b ), то:
f(x) – плотность распределения случайной величины.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:
Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b ), то:
Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (a,b ), определяется равенством:
.
Пример 1.26. Непрерывная случайная величина Х
Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадание случайной величины Х в интервале (0;0,7).
Решение: Случайная величина распределена на интервале (0,1). Определим плотность распределения непрерывной случайной величины Х :
а) Математическое ожидание 
:
б) Дисперсия 
в) 
Задания для самостоятельной работы:
1. Случайная величина Х задана функцией распределения:
M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
Х в интервал (2,3).
2. Случайная величина Х
Найти: а) математическое ожидание M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;1,5).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:
Найти: а) математическое ожидание M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .
1.4. Законы распределения непрерывной случайной величины
1.4.1. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:
Рис. 4.
; 
; 
.
Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.
Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .
Плотность вероятности: 
.
Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:
Задания для самостоятельной работы:
1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);
б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).
2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.
1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:
где – параметр показательного распределения.
Таким образом 
Рис. 5.
Числовые характеристики:
Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.
Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:
; 
Искомая вероятность , где
Окончательно:
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .
2. Случайная величина Х
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .
3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
1.4.3. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:
где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :
, где
– функция Лапласа.
Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности 
называется стандартным.
Рис. 6.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :
.
В частности, при а= 0 справедливо равенство:
Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Решение: .
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).
3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Примеры решения задач на тему «Случайные величины».
Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко проконтролировать: .
Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.
Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:
|
p i |
0,24 |
Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
Решение. Рассмотрим распределение Бернулли
(или биномиальное): вероятность того, что в
n
испытаниях событие А
появится ровно
k
раз: 
, или:
|
qn |
pn |
В ернёмся к задаче.
Возможные значения величины X (число отказов):
x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;
x 1 =1 – отказ одного элемента;
x 2 =2 – отказ двух элементов;
x 3 =3 – отказ всех элементов.
Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим
, ,
, .
Контроль: .
Следовательно, искомый закон распределения:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Задача 4
. Произведено 5000 патронов.
Вероятность того, что один патрон бракованный 
. Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3
бракованных патрона?
Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом
количестве испытаний (массовые испытания),
в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: 
, где .
Здесь
n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: 
.
Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .
Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:
Найти математическое ожидание.
Решение. .
Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.
Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:
Решение. Здесь .
Закон распределения квадрата величины X 2 :
|
X2 |
|||
Искомая дисперсия: .
Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.
Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:
|
10м |
|||
Найти её числовые характеристики.
Решение: м, м 2 ,
М 2 , м.
Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Задача 9.
Случайная величина
X
задана функцией
распределения: 
.
Найти вероятность того, что в результате
испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 
.
Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому
.
Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.
Решение. Так как функция распределения,
для 
, то
при ;
при ;
при ;
при ;
Соответствующий график:
Задача 11.
Непрерывная случайная
величина
X
задана дифференциальной функцией
распределения: 
.
Найти вероятность попадания X в интервал
Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.
Воспользуемся
формулой: 
.
Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
– функция Лапласа.
4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F (x ) . Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).
Определение4.1: Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x ) - первую производную от функции распределения F (x ) :
f ( x ) = F "( x ) .
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b :
Доказательство: Используем соотношение
P (a ≤ X b ) = F (b ) – F (a ).
По формуле Ньютона-Лейбница,
Таким образом,
.
Так как P (a ≤ X b )= P (a X b ) , то окончательно получим
.
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox , кривой распределения f (x ) и прямыми x = a и x = b .
Замечание: В частности, если f (x ) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
.
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).
Решение: Искомая вероятность
.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
Зная плотность распределения f (x ) , можно найти функцию распределения F (x ) по формуле
.
Действительно, F (x ) = P (X x ) = P (-∞ X x ) .
Следовательно,
.
Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:
f (x ) = F "(x ).
Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:
Решение:
Воспользуемся формулой
Если x ≤ a , то f (x ) = 0 , следовательно, F (x ) = 0 . Если a , то f(x) = 1/(b-a) ,
следовательно,
.
Если x > b , то
.
Итак, искомая функция распределения
Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).
Свойства плотности распределения
Свойство 1: Плотность распределения - неотрицательная функция:
f ( x ) ≥ 0 .
Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:
.
Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения .
Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.
Пример. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:
Найти постоянный параметр a .
Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство
.
Отсюда
.
Найдём
неопределённый интеграл:
.
Вычислим несобственный интеграл:
Таким образом, искомый параметр
.
Вероятный смысл плотности распределения
Пусть F (x ) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, f (x ) = F "(x ) , или
Разность F (x +∆х) - F (x ) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) , к длине этого интервала (при ∆х→0 ) равен значению плотности распределения в точке х .
Итак, функция f (x ) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х . Из дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.
Так как F "(x ) = f (x ) и dx = ∆ x , то F (x +∆ x ) - F (x ) ≈ f (x )∆ x .
Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х .
Геометрически этот результат можно истолковать так : вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой f (x ).
5. Типовые распределения дискретных случайных величин
5.1. Распределение Бернулли
Определение5.1: Случайная величина X , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q , называется Бернуллиевской :
,
где k
=0,1.
5.2. Биномиальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p ).
Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,… n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,… n .
Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.
Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).
Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Локальная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
того, что событие A
появится в n
испытаниях
ровно k
раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n
)
значению функции
,
где
,
.
Замечание1:
Таблицы, в которых помещены значения
функции
,
даны в приложении 1, причем
.
Функция
является плотностью стандартного
нормального распределения (смотри
нормальное распределение).
Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
k
= 80,
p
= 0,2
, q
= 0,8
.
Вычислим определяемое данными задачи
значение x
:
.
По таблице приложения 1 находим
.
Тогда искомая вероятность будет:
Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k 1 раз и не более k 2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:
Интегральная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу
,
где
и
.
Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна
где
,
и
.
Замечание2:
Функцию
называют функцией Лапласа (смотри
нормальное распределение). Таблицы, в
которых помещены значения функции
,
даны в приложении 2, причем
.
Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.
Решение: По условию n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
;
.
Таким образом, имеем:
По таблице
приложения 2 находим, что
и
.
Тогда искомая вероятность равна:
Замечание3: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).
5.3. Распределение Пуассона
Определение5.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:
,
где
и
(постоянное
значение).
Примеры Пуассоновских случайных величин:
Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T .
Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T .
Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.
Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.
Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.
Замечание2:
В сериях независимых испытаний (когда
n
велико, p
мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k
раз используют формулу Пуассона:
,
где
,
то есть среднее число появлений
событий остается постоянным.
Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002 . Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.
Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем λ: λ = np = 5000·0,0002 = 1 .
По формуле Пуассона искомая вероятность равна:
,
где случайная величина X
– число негодных изделий.
5.4. Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p
q = 1 - p . Испытания заканчиваются, как только появится событие А . Таким образом, если событие А появилось в k -м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А . Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х 1 = 1, х 2 = 2, …
Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k -м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P (X = k ) = q k -1 p .
Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если ее закон распределения имеет следующий вид:
P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
p
,
где
.
Замечание1: Полагая k = 1,2,… , получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0q . По этой причине распределение называют геометрическим.
Замечание2:
Ряд
сходится и сумма его равна единице.
Действительно сумма ряда равна
.
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:
P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.
5.5. Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M N ). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).
Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min ; обозначим их и, ... по значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел ...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»
Учебно-методический комплекс... методические указания по выполнению практических работ 5.1 Методические рекомендации по выполнению учебных проектов 5.2 Методические рекомендации по ... чувствительности), одномерного и многомерного... случайного компонента в величине ... с разделом «Представление...
Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)
Учебно-методический комплекс... разделов в учебниках. Решение задач по каждой теме. Проработка методических указаний к лабораторным работам по ... случайной и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические указания по ... Частица в одномерной потенциальной яме. ...
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика
Методические указания... Методические указания к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по ... величиной , а наибольшей суммой величин ... массива случайными числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе реализации после...
Глава 1. Дискретная случайная величина
§ 1.Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).
Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Функция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);
3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:
то функция распределения F(x) определяется формулой:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 при х≤ x1,
р1 при x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3
1 при х> хn.
Её график изображен на рис.2:
§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С Х)=С М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .
Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х - случайная величина;
3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины; Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0; Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1, 0,1 при -1<х≤0, 0,2 при 0<х≤1, F(x)= 0,5 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 Изобразим функцию F(x)графически (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение:
Биномиальным
называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где - «выпадения не пятерки». Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3. Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид: Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Найдем числовые характеристики случайной величины Х: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Задача№4.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется: а) 5 бракованных; б) хотя бы одна бракованная. Решение:
Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона: Рn(m)= e
-
λ
λm
Найдем λ=np=1000 0,002=2. а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5): Р1000(5)= e
-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь. Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e
-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Задачи для самостоятельной работы.
1.1
1.2.
Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения: Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х). 1.3.
В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.4.
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.5.
В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график. 1.6.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X). 1.7.
Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков. 1.8.
На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х). 1.9.
В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины. 1.10.
Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x). 1.11.
Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X). 1.12.
Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов. 1.13
.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов. 1.15.
Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) четыре бракованные книги, б) менее двух бракованных книг. 1
.16.
Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит: а) два вызова; б)хотя бы один вызов. 1.17.
Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y. 1.18.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин: Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y. Ответы:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1.
р3=0,4; 0 при х≤-2, 0,3 при -2<х≤0, F(x)= 0,5 при 0<х≤2, 0,9 при 2<х≤5, 1 при х>5 0,3 при -1<х≤0, 0,4 при 0<х≤1, F(x)= 0,6 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0, 0,03 при 0<х≤1, F(x)= 0,37 при 1<х≤2, 1 при х>2 M(Х)=2; D(Х)=0,62 M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈ M(Х)=2,4; D(Х)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.
M(Х)=2; D(Х)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а)0,0189; б) 0,00049 1.16.
а)0,0702; б)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Глава 2.
Непрерывная случайная величина
Определение:
Непрерывной
называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения. Определение:
Функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения. Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1 2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. 3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х 4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения). Определение
:
Плотностью распределения вероятностей
f
(
x
)
непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.: Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей
.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤2, f(x)= с(х-2) при 2<х≤6, 0 при х>6. Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5) Решение:
+
∞ а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1. Следовательно, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2, F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6, 1 при х>6. График функции F(х) изображен на рис.3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0, F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3, 1 при х>√3. Найти дифференциальную функцию распределения f(х) Решение:
Т. к.f(х)= F’(x), то https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных. Задача №3.
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Задачи для самостоятельного решения.
2.1.
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения: 0 при х≤0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3, 1 при х> π/3. Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 при х≤2, f(х)= с х при 2<х≤4, 0 при х>4. 2.4.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 при х≤0, f(х)= с √х при 0<х≤1, 0 при х>1. Найти: а) число с; б) М(Х), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4). 2.6.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: f(х)= 2(х-2) при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку . 2.7.
Функция f(х) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2]. 2.8.
Функция f(x) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x). 2.9.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7. 2.10.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)). 2.12.
Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">. Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Распределение Ремя задается плотностью вероятности: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0. Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей. 2.14.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) 2.16.
Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси. Ответы
0 при х≤0, f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3, 0 при х> π/3.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 при х≤а, f(х)= при a<х 0 при х≥b. График функции f(x) изображен на рис. 1 F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Задача№1.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график; б) функцию распределения F(x) и построить ее график; в) M(X),D(X), σ(Х). Решение:
Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7, 0 при х>7 Построим ее график (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0, f(х)= λе-λх при х≥0. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле: Р(a<Х Задача №2.
Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) плотность распределения вероятностей; б) функцию распределения; в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч. Решение:
По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0, а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0. б) F(x)= 0 при х<0, 1- е -0,01х при х≥0. в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения: Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3. §
3.Нормальный закон распределения
Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса),
если ее плотность распределения имеет вид: где m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой
(рис.7) Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: где - функция Лапласа. Замечание:
Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2. График функции распределения F(x) изображен на рис. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле: В частности, при m=0 справедливо равенство: «Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к. https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а) б) Воспользуемся формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Итак, искомая вероятность: P(28 Задачи для самостоятельной работы
3.1.
Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите: б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(4<х<6). 3.2.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите: а) плотность распределения f(x); б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(3≤х≤6). 3.3.
На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь. 3.4.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда. 3.5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-8х при х≥0. 3.6.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,7 е-0,7х при х≥0. а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины. б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х. 3.7.
Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,4 е-0,4 х при х≥0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5). 3.8.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-0,6х при х≥0 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.9.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14). 3.10.
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.11.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность? 3.12.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью? 3.13.
Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти: а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.; б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции. 3.14.
Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г. 3.15.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ. 3.16.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х. 3.17.
Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат? 3.18.
Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала. Ответы
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> б) 0 при х≤-3, F(х)= left"> 3.10.
а)f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Функцией распределения
случайной
величиныХ
называется функцияF
(х
),
выражающая для каждогох
вероятность
того, что случайная величинаХ
примет
значение, меньшеех
:. Функцию
F
(х
)
иногда называют интегральной
функцией распределения,
или интегральным
законом распределения
. Случайная
величина Х
называется непрерывной
,
если ее функция распределения непрерывна
в любой точке и дифференцируема всюду,
кроме, быть может, отдельных точек. Примеры
непрерывных случайных величин: диаметр
детали, которую токарь обтачивает до
заданного размера, рост человека,
дальность полета снаряда и др. Теорема.
Вероятность любого отдельно взятого
значения непрерывной случайной величины
равна нулю Следствие.
Если Х
-
непрерывная случайная величина, то
вероятность попадания случайной величины
в интервал Если
непрерывная случайная величина Х
может принимать только значения в
границах от а
до b
(где а
и b
-
некоторые постоянные), то функция
распределения ее равна нулю для всех
значений Все свойства функций распределения
дискретных случайных величин выполняются
и для функций распределения непрерывных
случайных величин. Задание
непрерывной случайной величины с помощью
функции распределения не является
единственным. Плотностью
вероятности
(плотностью
распределения
или плотностью
)
р
(х
)
непрерывной случайной величины Х
называется производная ее функции
распределения Плотность
вероятности р
(х
), как и функция
распределенияF
(х
), является
одной из форм закона распределения, но
в отличие от функции распределения она
существует только длянепрерывных
случайных величин. Плотность
вероятности иногда называют дифференциальной
функцией, или дифференциальным законом
распределения
. График плотности
вероятности называется кривой
распределения. Свойства
плотности вероятности непрерывной
случайной величины: Рис. 8.1
Рис. 8.2
4.
Геометрически
свойства плотности вероятности означают,
что ее график - кривая распределения -
лежит не ниже оси абсцисс, и полная
площадь фигуры, ограниченной кривой
распределения и осью абсцисс, равна
единице. Пример
8.1.
Минутная
стрелка электрических часов передвигается
скачками поминутно. Вы бросили взгляд
на часы. Они показывают а
минут. Тогда для вас истинное время в
данный момент будет случайной величиной.
Найти ее функцию распределения. Решение.
Очевидно, что функция распределения
истинного времени равна 0 для всех
О Рис. 8.3
Пример
8.2.
Является
ли функцией распределения некоторой
случайной величины функция Решение.
Все
значения этой функции принадлежат
отрезку
Выполняются и
равенства: Следовательно,
функция
Пример
8.3.
Является
ли функцией распределения некоторой
случайной величины функция Решение.
Данная функция не является функцией
распределения случайной величины, так
как напромежутке
Рис. 8.5
Пример
8.4.
Случайная величина Х
задана функцией распределения Найти
коэффициент а
и плотность вероятности случайной
величины Х
.
Определить вероятность неравенства Решение.
Плотность распределения равна первой
производной от функции распределения Коэффициент
а
определяем с помощью равенства Тот
же результат можно было получить,
используя непрерывность функции
Следовательно,
Поэтому плотность
вероятности имеет вид Вероятность
Пример
8.5.
Случайная величина Х
имеет плотность вероятности (закон
Коши) Найти
коэффициент а
и вероятность того, что случайная
величина Х
примет какое-нибудь значение из интервала
Решение.
Найдем коэффициент а
из равенства Следовательно,
Итак,
Вероятность того, что случайная величина
Х
примет какое-нибудь значение из
интервала
Найдем функцию распределения данной
случайной величины П Рис. 8.6
Решение.
Пользуясь графиком, записываем
аналитическое выражение плотности
распределения вероятностей данной
случайной величины Найдем
функцию распределения. Если
Если
Если
Если
Следовательно, функция распределения
имеет вид
1.2.
р4=0,1; 0 при х≤-1,
(рис.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,
,
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .
,
.
не зависит от того, является этот интервал
открытым или закрытым, т.е.
и единице для значений 
.Для непрерывной случайной величины
.
.
и единице для
.
Время течет равномерно. Поэтому
вероятность того, что истинное время
меньше а
+
0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково
вероятно, прошло ли после а
менее или более полминуты. Вероятность
того, что истинное время меньше а
+ 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого
времени втрое меньше вероятности того,
что истинное время больше а
+ 0,25 мин, а сумма их равна единице, как
сумма вероятностей противоположных
событий). Аналогично рассуждая, найдем,
что вероятность того, что истинное время
меньше а
+ 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность
того, что истинное время меньше а
+ + α
мин
,
равна α
.
Следовательно, функция распределения
истинного времени имеет следующее
выражение:
на
непрерывна всюду, а производная ее
непрерывна во всех точках, за исключением
двух:х = а
их = а
+ 1.
График этой функции имеет вид
(рис. 8.3):
,
т.е.
.
Функция F
(х
)
является неубывающей: в промежутке
она постоянна, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянна, равна единице (см.
рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой
точке х
0
области ее определения - промежутка
,
поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется
равенство
,
.
,
.
удовлетворяет всем свойствам, характерным
для функции распределения. Значит данная
функция
является функцией распределения
некоторой случайной величиныХ
.
она убывает и не является непрерывной.
График функции изображен на рис. 8.5.
.
,
.
в точке
,
.
.
попадания
случайной величины Х
в заданный промежуток вычисляется по
формуле
.
.
Найти функцию распределения этой
случайной величины.
,
.
.
,
равна
ример
8.6.
График плотности вероятности
случайной величиныХ
изображен на
рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать
выражение плотности вероятности ифункцию
распределения этой случайной величины.
,
то
.
,
то
.
,
то
,
то
