Гармонические колебания материальной точки. Если колебание описывать по закону синуса

Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).

Рисунок 1.

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)

где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.

Уравнение вида:

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.

Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:

Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:

Напряжение на конденсаторе, можно найти как:

Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$

Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.

Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний

Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:

Рисунок 2.

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \

где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:

В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:

Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:

При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Пример 1

Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем:

Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:

где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:

Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]

В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:

Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:

Ответ: $I_0=12,56\ А.$

Пример 2

Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:

мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:

\ \

По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:

Вычислим емкость:

Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$

>> Гармонические колебания

§ 22 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно на основе математического анализа найти зависимость координаты от времени.

Ускорение - вторая производная координаты по времени. Мгновенная скорость точки, как вам известно из курса математики , представляет собой производную координаты точки по времени. Ускорение точки - это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнение (3.4) можно записать так:

где х" - вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (3.11) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Из курса математики известно, что вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком. В математическом анализе доказывается, что никакие другие функции таким свойством не обладают. Все это позволяет с полным основанием утверждать, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или пасинуса. На рисунке 3.6 показано изменение координаты точки со временем по закону косинуса .

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, или от того, какая скорость сообщается телу. Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу. Но максимальные значения модуля синуса и модуля косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (3.11) не может выражаться просто синусом или косинусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды колебаний х m на синус или косинус.

Решение уравнения, описывающего свободные колебания . Запишем решение уравнения (3.11) в следующем виде:

а вторая производная будет равна:

Мы получили уравнение (3.11). Следовательно, функция (3.12) есть решение исходного уравнения (3.11). Решением этого уравнения будет также функция

График зависимости координаты тела от времени согласно (3.14) представляет собой косинусоиду (см. рис. 3.6).

Период и частота гармонических колебаний . При колебаниях движения тела периодически повторяются. Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.

Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например за секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду

В Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2 с равно:

Величина - циклическая, или круговая, частота колебаний. Если в уравнении (3.14) время t равно одному периоду, то T = 2. Таким образом, если в момент времени t = 0 х = х m , то и в момент времени t = Т х = х m , т. е. через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний нааынают собственной частотой колебательной системы 1 .

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы. Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно уравнению (3.13) равна:

Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m. Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно наменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен:

Располагая набором пружин различной жесткости и телами различной массы, нетрудно убедиться на опыте, что формулы (3.13) и (3.18) правильно описывают характер зависимости и Т от k и m.

Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.

Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением t , и смещением х в уравнении (3.10), описывающем колебания маятника, представляет собой, как и в уравнении (3.11), квадрат циклической частоты. Следовательно, собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом - современником И. Ньютона. Она справедлива только для малых углов отклонения нити.

1 Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту от обычной частоты можно по обозначениям.

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника . От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода колебаний от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебаний, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно не везде одинаково. Ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение g несколько большее. Это учитывают при поисках полезных ископаемых.

Так, железная руда обладает повышенной плотностью по сравнению с обычными породами. Проведенные под руководством академика А. А. Михайлова измерения ускорения свободного падения под Курском позволили уточнить места залегания железной руды. Сначала они были обнаружены посредством магнитных измерений.

Свойства механических колебаний используются в устройствах большинства электронных весов. Взвешиваемое тело кладут на платформу, под которой установлена жесткая пружина. В результате возникают механические колебания, частота которых измеряется соответствующим датчиком. Микропроцессор, связанный с этим датчиком, переводит частоту колебаний в массу взвешиваемого тела, так как эта частота зависит от массы.

Полученные формулы (3.18) и (3.20) для периода колебаний свидетельствуют о том, что период гармонических колебаний зависит от параметров системы (жесткости пружины, длины нити и т. д.)

Мякишев Г. Я., Физика. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. - 17-е изд., перераб. и доп. - М. : Просвещение, 2008. - 399 с: ил.

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по физике онлайн , видеоматериал по физике для 11 класса скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

x = x m cos (ωt + φ 0).

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

1.18. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение гармонических колебаний. Характеристики гармонических колебаний: смещение от положения равновесия, амплитуда колебаний, фаза колебания, частота и период колебаний. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Энергия гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: математический, пружинный, крутильный и физиче ский маятники.

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.

Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями!). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными (собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия, т.е. когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила.. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

· Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу). Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

· Автоколебания , как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

· Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими.

Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса . Они называются гармоническими .

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция,гармонических колебаний.

Уравнение гармонического осциллятора

Гармоническое колебание описывается периодическим законом:

Рис. 18.1. Гармоническое колебание

З

десь
- характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.), A - амплитуда колебаний ,
- фаза колебаний , - начальная фаза ,
- циклическая частота ; величину
называют также собственной частотой колебаний. Такое название подчеркивает, что эта частота определяется параметрами колебательной системы. Система, закон движения которой имеет вид (18.1), называется одномерным гармоническим осциллятором . Помимо перечисленных величин для характеристики колебаний вводят понятия периода , т.е. времени одного колебания.

(Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются состояния колеблющейся системы (совершается одно полное колебание) и фаза колебания получает приращение 2p).

и частоты
, определяющей число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц ).

Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины при колебательном или волновом движении.

Фаза колебаний - аргумент периодической функции или описывающей гармонический колебательный процесс (ω- угловая частота, t - время, - начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0).

Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины также совершают гармонические колебания той же частоты:

В данном случае за основу взято уравнение гармонических колебаний, записанное по закону косинуса. При этом первое из уравнений (18.2) описывает закон, по которому изменяется скорость колеблющейся материальной точки (тела), второе уравнение описывает закон, по которому изменяется ускорение колеблющейся точки (тела).

Амплитуды
и
равны соответственно
и
. Колебание
опережает
по фазе на ; а колебание
опережает
на . Значения A и могут быть определены из заданных начальных условий
и
:

,
. (18.3)

Энергия колебаний осциллятора

П

Рис. 18.2. Пружинный маятник

осмотрим теперь, что будет происходить сэнергией колебаний . В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим одномерные колебания, совершаемые телом массы m под действием упругой силы
(к примеру, пружинный маятник, см. рис. 18.2). Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. Пусть:

смещение:
скорость:
ускорение:

Т.е. уравнение таких колебаний имеет вид (18.1) с собственной частотой
. Квазиупругая сила является консервативной . Поэтому полная энергия таких гармонических колебаний должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии E к в потенциальную E п и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия равна максимальному значению потенциальной энергии, а при прохождении системы через положение равновесия полная энергия равна максимальному значению кинетической энергии. Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Потенциальная энергия:

(18.5)

Учитывая то, что т.е. , последнее выражение можно записать в виде:

Таким образом, полная энергия гармонического колебания оказывается постоянной. Из соотношений (18.4) и (18.5) также следует, что средние значения кинетической и потенциальной энергии равны друг другу и половине полной энергии, поскольку средние значения
и
за период равны 0,5. Используя тригонометрические формулы, можно получить, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются с частотой
, т.е. с частотой в два раза превышающей частоту гармонического колебания.

В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический, математический маятники и крутильный маятники.

1. Пружинный маятник - это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид или (18.8) Из формулы (18.8) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω 0 t+φ) с циклической частотой

(18.9) и периодом

(18.10) Формула (18.10) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (18.9) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна (см.18.5)

2. Физический маятник - это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Рис.18.3 Физический маятник

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы (18.11) где J - момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления F τ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (18.11) запишем как

Или Принимая (18.12) получим уравнение

Идентичное с (18.8), решение которого найдем и запишем как:

(18.13) Из формулы (18.13) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω 0 и периодом

(18.14) где введена величина L=J/(ml ) - . Точка О" на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 18.3). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

Т. е. ОО" всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О" имеют свойство взаимозаменяемости : если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

(8) где l - длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника (18.15) Сопоставляя формулы (18.13) и (18.15), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Для математического маятника (материальной точки массой m , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести с ускорением свободного падения равным g ) при малых углах отклонения (не превышающих 5-10 угловых градусов) от положения равновесия собственная частота колебаний:
.

4. Тело, подвешенное на упругой нити или другом упругом элементе, совершающее колебания в горизонтальной плоскости, представляет собой крутильный маятник.

Эта механическая колебательная система, которая использует силы упругих деформаций. На рис. 18.4 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

где I = I C – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить.

§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в моментt .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальны­ми фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

, или ,где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не болееошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний , или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ;ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

I

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая наколеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)=см их , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ= =. Значению аргументаудовлетворяютдва значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­ воряет еще и условию , найдем сначала:

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и, найдем

Так как всегдаA >0 и ω>0, то условиюудовлетворяет толь­ко первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза

По найденному значению φ постро-­ им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т =5 г совершает гармоничес-­ кие колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­ ределить: 1) скорость υ точки в мо-­ мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу F max , действующую на точку; 3) Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­ ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

, или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив : . Подставив выражение скорости в фор­-мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 г и m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

гдеJ - т - его масса; l С - расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3 = =. Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­ зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисле­ния, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром и массойт 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

(2).

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму-­ ле . В данном случает= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­ зовавшись теоремой Штейнера ,где J - момент инерции относительно про-­ извольной оси; J 0 - момент инерции отно-­ сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту фор-­ мулу к обручу, получим

Подставив выражения J 1 и J 2 в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­ ния, выражаемых уравнениями ;х 2 = =, гдеА 1 = 1 см, A 2 =2 см, с,с,ω = =. 1. Определить начальные фазыφ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний.Так как , то, подставляя найденныезначения φ 2 и φ 1 получим рад.

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу(3) и произведем вычисления:

A = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­ лим непосредственно из рис. 6.4: ,отку-­ да начальная фаза