Интегральная формула лапласа. Теоремы муавра-лапласа

При достаточно большом формула Бернулли дает громоздкие вычисления. Поэтому в таких случаях применяют локальную теорему Лапласа.

Теорема (локальная теорема Лапласа). Если вероятностьpпоявления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие А появится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна значению функции:

Имеются таблицы, в которых находятся значения функции
, для положительных значенийx.

Заметим, что функция
четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноkраз приближенно равна

, где
.

Пример. На опытном поле посеяли 1500 семян. Найти вероятность того, что всходы дадут 1200 семян, если вероятность того, что зерно взойдет, равна 0,9.

Решение.

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие А появится не менееk1 раз и не болееk2 раз вычисляется по интегральной теореме Лапласа.

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А вnиспытаниях появится не менееk 1 раз и не болееk 2 раз приближенно равна значению определенного интеграла:

Функция
называется интегральной функцией Лапласа, она нечетна и ее значение находятся по таблице для положительных значенийx.

Пример. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570.

Решение.

Формула Пуассона

Пусть производится nнезависимых испытаний, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Как мы уже говорили, вероятность появления события А вnнезависимых испытаниях ровноkраз можно найти по формуле Бернулли. При достаточно большомnиспользуют локальную теорему Лапласа. Однако, эта формула непригодна, когда вероятность появления события в каждом испытании мала или близка к 1. А при р=0 или р=1 вообще не применима. В таких случаях пользуются теоремой Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и близка к 0 или 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnнезависимых испытаниях событие А появится ровноkраз находится по формуле:

Пример. Рукопись объемом в тысячу страниц машинописного текста содержит тысячу опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.

Решение.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте классическое определение вероятности события.

Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

Дайте определение полной группы событий.

Запишите формулу полной вероятности.

Запишите формулу Бейеса.

Запишите формулу Бернулли.

Запишите формулу Пуассона.

Запишите локальную формулу Лапласа.

Запишите интегральную формулу Лапласа.

Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: ,,,,,.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Так принято называть переменную величину, которая принимает свои значения в зависимости от случая. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайные величины принято обозначать X,Y,Z.

Случайная величина Х называется непрерывной (дискретной), если она может принимать лишь конечное или счетное число значений. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения х 1 , х 2 , х 3 ,…х n (число которых может быть как конечным, так и бесконечным) и соответствующие вероятности р 1 , р 2 , р 3 ,…р n .

Закон распределения дискретной случайной величины Х обычно задается таблицей:

Первая строка состоит из возможных значений случайной величины Х, а во второй строке указаны вероятности этих значений. Сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х принимает все свои значения, равна единице, то есть

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки М 1 (х 1 ,р 1), М 2 (х 2 ,р 2), М 3 (х 3 ,р 3),…М n (x n ,p n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения случайной величины Х.

Пример. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:

Требуется вычислить: а) математическое ожидание М(Х), б) дисперсию D(X), в) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. а) Математическое ожидание М(Х), дискретной случайной величины Х называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих возможных значений. Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы (1), то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением случайной величины Х. Применяя (2), получим:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Если М(Х) есть математическое ожидание случайной величины Х, то разность Х-М(Х) называется отклонением случайной величины Х от среднего значения. Эта разность характеризует рассеяние случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, по самому определению имеем:

D(X)=M 2 . (3)

Вычислим все возможные значения квадрата отклонения.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Чтобы вычислить дисперсию D(X), составим закон распределения квадрата отклонения и затем применим формулу (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания, то есть

D(X)-M(X 2)- 2 . (4)

Чтобы вычислить дисперсию по формуле (4), составим закон распределения случайной величины Х 2:

Теперь найдем математическое ожидание М(Х 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Применяя (4), получим:

D(X)=2931,2-(54) 2 =2931,2-2916=15,2.

Как видно, мы получили такой же результат.

в) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения более удобно рассматривать величину, которая равна арифметическому значению корня квадратного из дисперсии, то есть
. Эту величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обозначают через σ. Таким образом

σ=
. (5)

Применяя (5), имеем: σ=
.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсияD(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4;7).

Решение .Известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функциейf(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

. (1)

Если величина Х распределена по нормальному закону, то дифференциальная функция

где а =М(Х) и σ=
. В этом случае получаем из (1)

. (2)

Формулу (2) можно преобразовать, используя функцию Лапласа.

Сделаем подстановку. Пусть
. Тогда
илиdx =σ∙ dt .

Следовательно
, гдеt 1 иt 2 соответствующие пределы для переменнойt.

Сократив на σ, будем иметь

Из введенной подстановки
следует, что
и
.

Таким образом,

(3)

По условию задачи имеем: а=5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Подставив эти данные в (3), получим:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Пример. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а=40 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение .Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-δ,а+δ), где а=40 и δ=0,6.

Положив в формулу (3) α= а-δ и β= а+δ, получим

. (4)

Подставив в (4) имеющиеся данные, получим:

Следовательно, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Пример. Диаметр деталей, изготавливаемых заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметраа=2,5 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Решение. По условию задачи имеем:

а=2,5; σ=0,01; .

Применяя формулу (4), получаем равенство:

или
.

По таблице 2 находим, что такое значение функция Лапласа имеет при х=3. Следовательно,
; откуда σ=0,03.

Таким образом, можно гарантировать, что длина диаметра будет изменяться в пределах от 2,47 до 2,53 см.

Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет двойному неравенству
, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятность
может быть вычислена по следующей приближённой формуле

(14) ,

где пределы интеграла определяются равенствами

Формула (14) тем точнее, чем больше число испытаний в данном эксперименте.

На основании равенство (13) формулу (14) можно переписать в виде

(15)
.

(16)
(Н.Ф.Л)

Отметим простейшие свойства функции
:

Последнее свойство связано со свойствами функции Гаусса
.

Функция
нечётна. Действительно, после замены переменных

=

;

Для проверки второго свойства достаточно сделать чертёж. Аналитически она связано с так называемым несобственным интегралом Пуассона.

Отсюда прямо следует, что для всех чисел
можно полагать что,
следовательно, все значения этой функции расположены в отрезке [-0,5; 0,5], при этом наименьшим является
затем функция медленно растёт и обращается в нуль, т.е.
а затем возрастает до
Следовательно, на всей числовой прямой является строго возрастающей функцией, т.е. если
то

Следует отметить, что выводы свойства 2 для функции
обосновывается на основании несобственного интеграла Пуассона.

Замечание. При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа пользуются специальными таблицами. В таблице даны значения для положительных аргументов и для
; для значений
следует воспользоваться той же таблицей с учётом равенства

Далее, для того, чтобы воспользоваться таблицей функции
, преобразуем равенство (15), так:

И на основании свойства 2 (нечётности
), с учётом чётности подынтегральной функции получим

=
.

Таким образом, вероятность того, что событие появится внезависимых испытаниях не менеераз и не болеераз, вычисляется формулой:

(17)

;

Пример 12 . Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 150 и не более 250 раз.

Решение : Здесь
,
,
,
,
. Вычисляем

,
,

,
.

Подставляя в интегральную формулу Лапласа, получим

На практике наряду с равенством (16) часто используют и другую формулу называемую «интегралом вероятности » или функцией Лапласа (см. более подробно в гл.2., п.9.,Т.9.).

(И.В. или Ф.Л .)

Для этой функции справедливы равенства:

Следовательно, она связана с табулированной функцией
и поэтому имеется также ё таблица приближённых значений (см. в конце книги, приложение).

Пример 13. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенных деталей окажется от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию задачи
,
,
.
,
. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Следовательно, с учётом табличных значений функции
;

получим искомую вероятность

Теперь у нас есть возможность в качестве приложения рассмотренных предельных теорем доказать известную теорему « закон больших чисел в форме Бернулли »

Закон больших чисел (ЗБЧ в форме Бернулли)

Первым исторически самым простым законом больших чисел является теорема

Я. Бернулли. Теорема Бернулли выражает наиболее простую форму проявлния закона больших чисел. Она обосновывает теоретическую возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.

Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления событияравна,
а относительная частота в каждой серии испытания равна

Рассмотрим задачу :в условиях испытания по схеме Бернулли и при достаточно большом числе независимых испытаний найти вероятность отклонение относительной частоты
от постоянной вероятностипоявления событияпо абсолютной величине не превышает заданного числа
Другими словами, найти вероятность:

при достаточно большом числе независимых испытаний.

Теорема (ЗБЧ Я. Бернулли 1713 г.) При вышеприведённых условиях при любом , как бы ни было мало
, имеет место предельное равенство

(19)
.

Доказательство. Проведём доказательство этого важного утвержденияна основании интегральной теоремы Муавра – Лапласа. По определению относительная частота равна

А
вероятность наступления событиев одном испытании. Сначала установим следующее равенство при любом
и достаточно большом:

(20)

.

Действительно, в соответствии условием
легко заметить, что имеет место двойное неравенство. Обозначим

(21)
.

Тогда, будем иметь неравенства

Следовательно, для искомой вероятности . Теперь, для случаев
воспользуемся равенством

;

и с учётом нечётности
получим

== 2
.

Равенство (20) получено.

Из формулы (20) непосредственно следует, что при
(с учётом
где), получим предельное равенство (20).

Пример 14.
. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от
по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. Согласно условиям задачи, требуется найти

По формуле (3) имеем

=2
.

С учётом табличного значения функции
получим

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб

деталей, то в каждой пробе примерно происходит отклонение относительной «частоты» на

95, 44 % и величина
этих проб от вероятности
, по модулю не превышающей 0,03.

Рассмотрим другой пример, где требуется найти число
.

Пример 15. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна
. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью 0,9999 можно было бы утверждать, что относительная частота нестандартных деталей (среди отобранных), отклоняется отпо модулю не более, чем на 0,03. Найти это количество

Решение. Здесь, по условию
.

Требуется определить
. По формуле (13) имеем

Поскольку,

По таблице находим, что данное значение соответствует для аргумента
. Отсюда,
. Смысл этого результата таков: относительная частота будет заключена

между числами . Таким образом, число нестандартных деталей в 99,99 % проб будет заключено между числами 101,72 (7 % от числа 1444) и 187,72 (13 % от числа 1444).

Если взять лишь одну пробу 1444 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что число нестандартных деталей будет не менее101и не более 188, в тоже время маловероятно, что их окажется меньше 101 или больше 188.

Следует заметить, что теорема Бернулли также устанавливает: при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного событиясходится по вероятности к истинной вероятности этого же события, т.е. справедлива оценка снизу

(22)
;
,

при условии, что вероятность события от испытания к испытанию остается неизменным и равным
при этом
.

Неравенство (22) является прямым следствием известного неравенства Чебышева (см. далее тему «Предельные теоремы теории вероятностей» «Теорема Чебышева»). Мы позже ещё раз вернёмся к этому ЗБЧ. Оно удобно для получения оценок вероятностей снизу и двухстороннею оценку для необходимого числа наступления события, так чтобы вероятность от модуля разности относительной частоты и истинной вероятности, заданному ограничению рассматриваемого события удовлетворяло.

Пример 16. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления меньше чем на 0,1.

Решение . По условию здесь

На основании неравенство (4) получим

Следовательно, неравенство
равносильно двойному неравенству

Поэтому можно заключить, что вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400; 600) больше чем

Пример 17. В урне 1000 белых и 2000 чёрных шаров. Извлекли (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, число извлечённых шаров m (при этом они должны быть белыми) удовлетворяет двойному неравенству 80< m <120.

Решение. Двойное неравенство для величины m перепишем в виде:

Таким образом, требуется оценить вероятность выполнении неравенства

Следовательно,

Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальная)). А в каждом из n независимых испытаниях равна р n испытаниях событие А наступит раз, приближенно равна (чем больше n , тем точнее) значению функции

где , . Таблица значений функции приведена в прил. 1.

Пример 6.5. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна . Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?

Решение. По условию задачи , . Находим . По таблице находим .

Ответ: .

Теорема 3 (Муавра-Лапласа (интегральная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между и , приближенно равна (чем больше n , тем точнее)

где р - вероятность появления успеха в каждом испытании, , , значения приведены в прил. 2.

Пример 6.6. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью . Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет в пределах от 564 до 600.

Решение. По условию По интегральной теореме Лапласа

Ответ:

Пример 6.7. Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в его ресторане?

Решение. Пусть А = «турист пообедал у заинтересованного владельца». Наступление события А будем считать «успехом», , . Нас интересует такое наименьшее число k , что вероятность наступления не менее чем k «успехов» в последовательности из независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0,5 приблизительно равна 1 – 0,99 = 0,01. Это как раз вероятность переполнения ресторана. Таким образом, нас интересует такое наименьшее число k , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа

Откуда следует, что

Используя таблицу для Ф (х ) (прил. 2), находим , значит . Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест.

Ответ: 537 мест.

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

Пример 6.8. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблица значений функции φ(x); для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция φ (x) четная: φ(-x) = φ(x)).

Пример №1 . В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.
Решение. Так как количество опытов n = 700 довольно велико, то используем формулы Лапласа.
а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Найдем P 700 (270). Используем локальную теорему Лапласа.
Находим:

Значение функции φ(x) найдем из таблицы:

б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Найдем P 700 (230 < k < 270).
Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим:

Значение функции Ф(x) найдем из таблицы :

в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Найдем P 700 (k > 270).
Имеем:

Пример №2 . При установившемся технологическом процессе на ткацкой фабрике происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определите: а) вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити; б) наивероятнейшее число обрывов нити на 80 веретенах в течение часа.
Решение. Статистическая вероятность обрыва нити в течение часа равна p = 10/100 = 0,1 и, следовательно, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Поскольку n велико, то используется локальная теорема Лапласа (23). Вычисляем:

Воспользуемся свойством φ(-x) = φ(x), находим φ(0,37) ≈ 0,3726, а затем вычисляем искомую вероятность:

Таким образом, вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити, приближенно равна 0,139.
Наивероятнейшее число k 0 наступлений события при повторных испытаниях определим по формуле (14). Находим: 7,1 < k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Пример №3 . Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0.4. Сделано 150 деталей. Найти вероятность того, что среди них 68 деталей первого сорта.

Пример №4 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна p .
Найти вероятность того, что событие состоится n раз, если проведения m испытаний.
Ответ представить с точностью до трех значащих цифр.
р=0.75, n=87, m=120

Интегральная теорема Муавра-Лапласа . Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

Где
- функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

,
.

Формула называется интегральной формулой МуавраЛапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула
, так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции :

Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).

Пример . В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение . Применяем интегральную теорему МуавраЛапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:

Теперь по формуле
, учитывая свойства Ф(х), получим

(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.

Рассмотрим следствие интегральной теоремы МуавраЛапласа.

Следствие . Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения nр не более, чем на величину ε >
;

б) частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.
, Где
,
.

в) частость события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ > 0 (по абсолютной величине), т.е.
.

□ 1) Неравенство
равносильно двойному неравенству пр - Е ~ т ~ пр + Е. Поэтому по интегральной формуле
:

2) Неравенство
равносильно неравенствуa ≤ m ≤ b при a = nα и b = nβ. Заменяя в формулах
и
,
величины а иb полученными выражениями, получим доказываемые формулы
и
,
.

3) Неравенство
равносильно неравенству
. Заменяя в формуле

, получим доказываемую формулу
.

Пример . По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

Решение . а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n = 1000 велико (условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Вначале определим:

,
. Теперь по формуле
:

Б) По формуле
:

Так как неравенство
равносильно неравенству
, полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет.

Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в рез-те испытания в зав-ти от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно).

Примеры случайных величин : 1) число родившихся детей в течение суток в г. Москве; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; 4) дальность полета артиллерийского снаряда; 5) расход электроэнергии на пр-тии за месяц.

Случайная величина называется дискретной (прерывной) , если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой - некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Так, в приведенных выше примерах 1-3 имеем дискретные случайные величины (в примерах 1 и 2 - с конечным множеством значений; в примере 3 - с бесконечным, но счетным множеством значений); а в примерах 4 и 5 - непрерывные случайные величины.

Для дискретной случайной величины множество возможных значений случайной величины, т.е. функции
, конечно или счетно, длянепрерывной - бесконечно и несчетно.

Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита Х,У,Z,..., а их значения - соответствующими строчными буквами х,у,z,....

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Для дискретной случайной величины закон распределения м.б. задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Или

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины .

События Х=х 1 , Х=x 2 ,…,Х=x n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения х 1 , x 2 , ..., x n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), Т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Т.о., для любой дискретной случайной величины
.

Ряд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей .

Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так, если дискретная случайная величина Х может принимать значения x i (i = 1, 2, ..., n), а случайная величина У - значения y j (j = 1, 2, ..., m), то независимость дискретных случайных величин Х и У означает независимость событий Х = x i и У = y при любых i = 1, 2, ... , n и j = 1, 2, ..., m. В противном случае случайные величины называются зависимыми .

Например , если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины Х и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету (в денежных единицах), будут независимыми , т.к. при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при Х = x i) закон распределения выигрыша по другому билету (У) не изменится.

Если же случайные величины Х и У выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае Х и У являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (Х = x i) приводит к изменению вероятностей выигрыша по другому билету (У), т.е. к изменению закона распределения У.

Математические операции над дискретными случайными ве личинами и примеры построения законов распределения для КХ, Х" 1 , X + К, XV по заданным распределениям независимых случай ных величин X и У.

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть даны две случайные величины:

Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx i с теми же вероятностями р i (i = 1,2,...,n).

m -й степенью случайной величины Х, т.е.
, называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями р i (i = 1,2,...,n).

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и У называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида хi+уj (хj-уj или хj·уj), где i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, с вероятностями pij того, что случайная величина Х примет значение xi, а у - значение yj:

Если случайные величины Х и У независимы, т.е. независимы любые события Х=хi, Y=yj то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

3амечание . Приведенные выше определения операций над дискретными случайными величинами нуждаются в уточнении: так как в ряде случаев одни и те же значения ,
,
могут получаться разными способами при различныхxi, yj с вероятностями pi, pij, то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением полученных вероятностей pi или pij.