Пери Куклин (Perry Kuklin)
Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:
1. Развлеките посетителей
Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.
2. Вперёд, в виртуальность
Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?
Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.
3. Следите за очередями
Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.
Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.
Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.
4. Добавьте немного мобильности
Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.
Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).
5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом
В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?
Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.
Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.
Перевод Леонида Пеленицына
В этом разделе рассмотрим СМО типа М/М/n/m< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
Это ограничение носит принципиальный характер, т.к. при вычислении вероятностей состояний СМО необходимо знание не только текущего состояния (числа требований в системе), но и того, как давно пришли требования, ожидающие обслуживания. Таким образом, процесс К(t) перестает быть марковским.
Время ожидания в очереди может быть ограничено как детерминированной, так и случайной величиной. В обеих случаях процесс К(t), как уже было сказано, характеризуется наличием последействия. Однако, способы формирования на его основе марковской модели СМО существенно различаются.
7.3.1. Время ожидания ограничено случайной величиной τ
В этом случае все зависит от закона распределения ограничения , т.к. именно ограничение вносит в систему последействие. Поэтому вернуть процессу К(t) марковость крайне просто. Достаточно принять для описания случайной величины экспоненциальное распределение. Однако при этом нельзя забывать, что такая операция возможна лишь в том случае, когда реальное распределение или действительно экспоненциальное, или близко к нему. Если это не так, то сформированная математическая модель будет неадекватна реальной СМО.
При экспоненциально распределенном ограничении на время ожидания в очереди, процесс изменения числа требований в СМО по-прежнему будет процессом размножения и гибели с той лишь разницей, что интенсивность гибели увеличится за счет, покидающих очередь требований, у которых время ожидания превысило допустимую величину.
Примем, что распределение времени ожидания имеет вид:
F(t) = 1 - e - функция распределения,
f(t) = e - плотность распределения,
где - интенсивность выхода из очереди за счет превышения допустимого времени ожидания.
Тогда параметры процесса К(t) будут равны:
K , при к N + (k - n) , при к>n . Читателю предлагается самостоятельно, руководствуясь материалом раздела 7.2.1,
написать модель рассматриваемой СМО, и формулы для вычисления основных характеристик СМО в стационарном режиме. 7.3.2. Время ожидания ограничено неслучайной величиной τ
В этом случае для описания СМО с помощью марковской модели целесообразно использовать второй из приведенных в 7.1. способов, а именно, расширение понятия состояния. Для того, чтобы прогнозировать распределения состояний в будущем, необходимо знать как давно пришли в систему требования, которые в настоящее время находятся в очереди. Это можно сделать, включив в число обобщенных координат, описывающих состояние СМО, давность прихода каждого ожидающего требования, или, что то же самое, время, которое осталось у него до окончания срока ожидания. В рамках процесса К(t), которым мы пользовались во всех предыдущих задачах, это сделать нельзя, и в рассматриваемом случае модель функционирования СМО строится на основании векторного случайного процесса X ,
характеризующего состояние системы через состояния каждого из n ее каналов: X
= { X (t), X (t),…. X (t)} = {
X (t)} X (t) – это время, которое осталось до освобождения j-ого канала. Таким образом, для каждого момента времени t, мы можем прогнозировать будущие состояния каналов: j-ый канал освободится через х j (t), если за это время не поступят требования из внешнего потока. А так как входящий поток простейший, это значит, что в процессе X
последействие отсутствует, т.е. процесс марковский. Найдем распределение этого процесса. ( 7.3)
Это функция и плотность n-мерного распределения вектора X (t) в случае, когда все каналы заняты. Занятые (и только они) каналы персонифицированы, т.е. перенумерованы. То же, что и выше, но в случае, когда занято лишь «к» каналов, а остальные свободны. ( 7.4)
В дальнейшем, для простоты, будем трактовать плотность f (t; x …x ) как вероятность того, в СМО занято к каналов, которым присвоены номера от 1 до к., опуская при этом формальное умножение на . Знание этих распределений позволит вычислять вероятности состояний рассматриваемой системы. Для вывода необходимых уравнений используем марковское свойство процесса X(t), а именно: будем выражать вероятность состояния процесса в момент t+ t (будущее) через его состояние в момент t (настоящее). Предварительно заметим, что - вероятность того, что в системе нет требований. Для нулевого состояния СМО (в системе нет требований) можем, как и прежде, записать ( 7.5)
Второе слагаемое означает, что в момент t в одном из каналов системы было требование, обслуживание которого заканчивалось на интервале t , и этим каналом мог быть любой из n. Преобразуя и переходя к пределу при t 0, получим: ( 7.6)
Рассмотрим случай, когда 0 ( 7.6)
При составлении этого уравнения учитывалось следующее: · за время t занятости всех каналов уменьшаются на , и если за это время не подойдет ни одного требования входящего потока, то к моменту t система окажется в нужном состоянии (первое слагаемое правой части); · второе слагаемое правой части: в момент t был занят к-1 канал, а канал с номером i (из числа персонифицированных) был пустым, и что бы СМО пришла в нужное состояние необходимо: чтобы пришло требование, чтобы время его обслуживания было равно x , и чтобы из (n-к) свободных каналов оно выбрало именно i-ый, причем этим каналом может быть любой из каналов с номерами от 1 до к. · последнее слагаемое означает, что в момент t был занят (к + 1) канал, но в одном из них (а именно в (к+1)–ом) на интервале обслуживание заканчивалось. Причем таким каналом может быть любой из (n – к). Теперь рассмотрим случай, когда : ( 7.7)
Поясним, как и выше, содержание правой части: · Первое слагаемое отличается от случая к · Второе слагаемое в содержательном плане ничем не отличается от случая к · Третье слагаемое правой части отвечает ситуации, когда все каналы заняты, как это нужно, но один из них «недозанят», например, X (t) = Z < x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов. Вспоминая определение смешанной частной производной: ,( 7.8)
производя группировку членов уравнений, как это делалось выше, и переходя к пределу при , окончательно получим: ( 7.9)
( 7.10)
Эти уравнения относятся к стационарному режиму, что получило свое выражение в том, что производные плотностей распределения по t приняты равными нулю, а сами плотности записаны в финальной форме, как функции не зависящие от времени. Кроме того, для простоты последующих выкладок, приняты следующие обозначения: f = f и f = f . Решение этой системы, т.е. отыскание функций f и f , произведем следующим образом. Вначале, исходя из общих соображений содержательного характера, найдем вид этих функций, после чего подставим их в систему уравнений с целью установить, удовлетворяют они им или нет. Если ответ будет положительным, то решение системы уравнений найдено. Сперва рассмотрим случай 0 . Как говорилось выше, функция f имеет смысл вероятности того, что в СМО занято «к» персонофицированных (перенумерованных) каналов, причем первый освободится через x единиц времени, второй через x , … , к-ый через x . Каналы функционируют независимо, и время обслуживания в каждом распределено экспоненциально. Тогда вероятность рассматриваемого события равна: ( 7.11)
Вероятность того, что занято k перенумерованных каналов P - вероятность того, что в СМО занято k каналов Рассмотрим СМО с п
каналами. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью l
. Время ожидания заявки в очереди Т ож
распределено по показательному закону со средним значением . Время обслуживания показательное со средним значением Пусть максимальное число мест в очереди ограничено и равно т
. В этом случае система имеет т
+ n
+ 1 состояние. Размеченный граф состояний выглядит так: Можно составить уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга для предельного стационарного режима при t
® ¥ вероятности состояний, полученные из этих уравнений запишутся так: где Параметры a
и b
выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки. Данные формулы достаточно громоздки и требуют большой вычислительной работы. Поэтому их можно записать в другом виде: Если d
не является целым, то вычисление можно провести для двух ближайших к величине d
целых числе и произвести между ними линейную интерполяцию. Средне число занятых каналов определяем по формуле: Вероятность обслуживания заявки Р обс
= . Если число мест в очереди не ограничено (т
® ¥), то формулы упрощаются с учетом того, то Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а терпеливо дожидаются обслуживания (n
= 0, а значит, и b
= 0), то формулы (6.1) и (6.2) превращаются в формулы (5.1), (5.2), которые мы рассматривали в § 5). Если при этом длина очереди не ограничена (т
® ¥), то получим формулы (4.1), (4.2), мак как система превращается в чистую систему с ожиданием (см. § 4). Задача 1
. В магазине обслуживают покупателей четыре продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя 4 мин. Плотность потока покупателей около двух человек в минуту. В очереди могут ожидать одновременно не более 20 человек. В среднем покупатель, вставший в очередь, ожидает 10 мин., после чего он покидает магазин. Определить: 1) среднее число занятых продавцов; 2) среднее число покупателей, ожидающих в очереди; 3) вероятность того, что все места в очереди будут заняты; 4) вероятность того, что покупатель будет обслужен; 5) среднее время пребывания в очереди; 6) среднее время, затачиваемое на всю процедуру (ожидание в очереди и обслуживание). Решение
. Работа магазина может быть представлена как работа СМО смешанного типа. Параметры этой системы следующие: п
= 4 – число каналов обслуживания; т
= 20 – максимальное число мест в очереди; – среднее число покупателей, приходящих в магазин; – среднее время обслуживания одного покупателя – среднее время ожидания покупателя в очереди. После чего он покидает магазин ; ; – целое число. 1) Среднее число занятых продавцов: то есть практически все продавцы будут заняты. 2) Среднее число покупателей, ожидающих в очереди: 3) Вероятность того, что все места в очереди будут заняты: то есть все места в очереди будут заняты с вероятностью менее 1 %. 4) Вероятность обслуживания: 6) Среднее время, затачиваемое на всю процедуру: Задача 2
. С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят четыре самолета-дозаправщика. Если дозаправка началась, то она осуществляется до конца и длится в среднем 10 минут. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, может некоторое время «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки); среднее время ожидании 20 минут. Если самолет не дождался дозаправки в воздухе, он садится на запасной аэродром. Интенсивность полетов такова, что в среднем за час в район дозаправки прибывает 24 самолета. Число самолетов, ожидающих дозаправки в воздухе, не ограничено. Определить: 1) вероятность Р об с
того, что самолет будет дозаправлен; 2) среднее число занятых дозаправщиков; 3) вероятность того, что произвольно взятый дозаправщик будет занят; 4) среднее время простоя дозаправщика. Решение
. Рассматриваемая система может быть рассмотрена как СМО смешанного типа с параметрами: число каналов обслуживания п
= 4; число мест в очереди не ограничено (т
® ¥); плотность потока заявок плотность потока обслуживаний плотность потока уходов из очереди Отсюда – целое число. По формуле (6.5) находим среднее число дозаправщиков, занятых обслуживанием самолетов: где R
(¥;8) = 1. Вероятность тог, что самолет будет дозаправлен: Среднее время простоя дозаправщика: Задачи
. 1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число заказов за 1 час – 2п
. Среднее время оформления заявки т
мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон занят, то он обратится в другую мастерскую (система без очереди). Найти основные характеристики СМО: 1) р
0 , р
1 ; 2) р обс
; 3) ; 4) . Проанализировать, как изменятся соответствующие показатели, если подключить второй телефон. С какой интенсивностью должны работать два работника, чтобы доля потерь заявок была менее 10 %? , менее 5 %? 2. В мастерской по ремонту холодильников имеются 3 мастера. Мастер в среднем может отремонтировать 1 холодильник за 80 минут. Рабочий день составляет 8 часов. В мастерскую в среднем поступает 40 заявок на ремонт за рабочий день. В случае, если все мастера заняты, холодильник в ремонт не принимается (СМО с отказом). Заработная плата мастеров почасовая, 150 рублей в час. Клиент в среднем платит за ремонт 300 рублей (запчасти оплачиваются отдельно). Определить чистую прибыль мастерской за смену. Как изменится прибыль, если пригласить в мастерскую 4-го мастера? Определить количество мастеров, при котором прибыль мастерской максимальна. 3. В платной справочной телефонной службе имеется четыре телефонные линии. В справочную поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью 1 заявка в 2 минуты. Ответ на каждый вопрос длится в среднем 6 минут. За ответ на каждый вопрос клиент платит 10 руб.. Эксплуатация одного канала обслуживания составляет 30 руб./час, создание канала обслуживания требует расхода 8000 руб. Определить чистый доход за один час. Через сколько часов произойдет окупаемость системы? 4. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заказов – 20, среднее время оформления заказа – 4 минуты. Определить показатели СМО: 1) вероятности состояний системы р
0 , р
1 ; 2) вероятность обслуживания заявки р обс
; 3) среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала. Проанализировать, как они изменятся, если подключить второй телефон. 5. Средний интервал между поступающими в прокатный пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет 5 мин. Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью 12 заявок в час. С какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу двух, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне? На сколько требуется повысить интенсивность обслуживания двум работникам, чтобы доля потерянных заявок была менее 10 %? 6. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефону. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с плотностью l
= 3 (заявки в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Средняя длительность оформления заявки 2 минуты. Найти все характеристики СМО: 1) вероятности состояний системы р
0 , р
1 ; 2) вероятность обслуживания заявки р обс
; 3)среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала. С какой интенсивностью должны работать 2 работника, выполняя работу четырех, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне? 7. Библиотека принимает заявки на книги по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок – 70, среднее время оформления заявки – 2 минуты. Определить показатели СМО (задача 6). Найти, как изменятся параметры системы, если заявки будут приниматься по двум телефонам и при этом доля потерянных заявок уменьшится в 2 раза по сравнению с прежним уровнем. Как изменится время пребывания заявки в системе? 8. Пусть в СМО с отказом поступает в среднем 15 заявок в час. Среднее время обслуживания заявки составляет 12 мин. За обслуживание заявки клиент платит 80 рублей. Содержание одного канала обслуживания обходится 100 рублей в час. Определить число каналов обслуживания, при которых прибыль максимальна. Литература 1. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1962. 2. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М., 1969. 3. Гнеденко Б.В. Лекции по теории массового обслуживания. Изд. КВИРТУ, 1960. 4. Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. 2-е издание. Москва, 2003, 2006 ЮНИТИ. 1. Интенсивность нагрузки
.
Система массового обслуживания
называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы
занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал. Если время ожидания заявки в
очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с
ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется
«системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с
отказами и чистой системой с ожиданием. Для практики наибольший интерес
представляют именно системы смешанного типа. Ограничения, наложенные на
ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение
накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено
сверху каким-то сроком , который может быть как строго
определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в
очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько
времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло,
обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее
наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время
пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне
стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился
обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она
ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой
необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если
длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число
заявок в очереди. В системах с ожиданием
существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки
могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше
и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют
системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки
обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне
очереди»). Каждый тип системы с ожиданием
имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны,
например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания». Здесь мы остановимся только на
простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи
Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные
уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний
в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга. Рассмотрим смешанную систему
массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход
системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки
-
показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми,
становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым
сроком ;
если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она
покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать
случайным и распределенным по показательному закону где
параметр -
величина, обратная среднему сроку ожидания: ; Параметр полностью аналогичен
параметрам и
потока
заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность
«потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе
заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не
кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова
становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь
плотность . Очевидно, при система смешанного типа
превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с
ожиданием. Заметим, что при показательном
законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит
от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для
каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от
того, сколько времени заявка уже стояла в очереди. Благодаря допущению о
пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний
системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для
вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти
состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу
связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если
она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные
состояния системы будут: Ни один канал не занят (очереди нет), Занят ровно один канал (очереди нет), Занято ровно каналов
(очереди нет), Заняты все каналов
(очереди нет), Заняты все каналов,
одна заявка стоит в очереди, Заняты все каналов,
заявок
стоят в очереди, Число заявок , стоящих в очереди, в наших
условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное
(хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее
дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным. Очевидно, первые дифференциальных
уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга: Отличие новых уравнений от
уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами
может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то
она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна
заявка стоит в очереди). Составим дифференциальное
уравнение для .
Зафиксируем момент и
найдем -
вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя
способами: 1)
в момент система
уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни
одна заявка и ни один из каналов не освободился); 2)
в момент система
была в состоянии ,
а за время перешла
в состояние (пришла
одна заявка); 3)
в момент система
была в состоянии (все
каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и
стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи
с окончанием срока). Вычислим теперь при любом - вероятность того,
что в момент все
каналов
будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это
событие снова может осуществиться тремя способами: 1)
в момент система
уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось
(значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди
заявок не ушла); 2)
в момент система
была в состоянии ,
а за время перешла
в состояние (т.
е. пришла одна заявка); 3)
в момент система
была в состоянии ,
а за время перешла
в состояние (для
этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди
заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с
окончанием срока). Следовательно: Таким образом, мы получили для
вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений: Уравнения (19.10.1) являются
естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с
ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как
постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно
учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно,
но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо
малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены. Выведем формулы, аналогичные
формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме
обслуживания (при ).
Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными
нулю, получим систему алгебраических уравнений: К
ним нужно присоединить условие: Найдем
решение системы (19.10.2). Для этого применим тот же прием,
которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение
относительно подставим
во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами,
получим: Перейдем
к уравнениям для и
вообще при любом В обе формулы (19.10.4) и
(19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия
(19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим: Преобразуем
выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности: Параметры и выражают соответственно среднее число
заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на
среднее время обслуживания одной заявки. В новых обозначениях формулы
(19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид: Подставляя (19.10.10) в (19.10.8)
и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний
системы: Зная вероятности всех состояний
системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в
частности, вероятность того, что заявка покинет систему
необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме
вероятность того,
что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение
среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу
заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих
из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое
ожидание числа
заявок, находящихся в очереди: Чтобы получить , нужно умножить на среднюю
«плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на
коэффициент
. Параметр n
полностью аналогичен параметрам l
и m
. Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди.
, (6.1)
, (6.2)
.
(6.3)
(6.4)
(6.5)
.
;
;
;
;
.
Интенсивность потока обслуживания:
ρ = λ t обс = 120 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя каналов).
Следовательно, 12% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 7.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. Доля заявок, получивших отказ
.
Значит, 3% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок
.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0311 = 0.97
Следовательно, 97% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
.
n з = ρ p обс = 2 0.97 = 1.9 каналов
Среднее число простаивающих каналов
.
n пр = n - n з = 3 - 1.9 = 1.1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием
.
Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность
.
A = p обс λ = 0.97 120 = 116.3 заявок/час.
.
t пр = p отк t обс = 0.0311 0.0166 = 0 час.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди
.
ед.
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок
.
L обс = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 ед.
13. Среднее число заявок в системе
.
L CMO = L оч + L обс = 0.51 + 1.94 = 2.45 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО
.
час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 4 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 116.3 / 181 = 64% от номинальной производительности.
.
(19.10.1)
(19.10.2)
. Тем же способом
получим:
,
,
. (19.10.5)
,
. (19.10.6)
(19.10.7)
; (19.10.9)
. (19.10.10)
; (19.10.11)
. (19.10.12)
. (19.10.13)
