Примеры на метод половинного деления. Численные методы решения нелинейных уравнений

Пусть f (x ) – непрерывная функция на [a ; b ], .


Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть f (x ) – дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a ; b ],
,
и
не меняют знак на [a ; b ].

Обозначим через тот конец отрезка, где знаки
и
совпадают. Последовательные приближения к точному корнюc находим по формуле

для
.

Тогда
является точным корнем уравнения (1).

Вычислительный процесс обычно останавливают, когда
оказывается меньше заданной точностиε . Однако это условие не может строго гарантировать, что заданная точность достигнута. Для полной гарантии можно выполнить проверку точности, как было указано в начале раздела. Если точность не достигнута, то нужно повторить итерации еще несколько раз.

Метод секущих

Пусть есть какое-то начальное приближение . Получим еще одну точку по формуле
, гдеh – небольшое число. Будем считать, что мы выполнили несколько шагов метода, и к данному моменту у нас есть два последовательных приближения и
к точному корню (на начальном этапе – этои). Тогда следующее приближение находим по формуле

,

Процесс останавливается по такому же критерию, как и в методе Ньютона.

Метод итераций

В методе итераций исходное уравнение (1) преобразуется в равносильное уравнение
. Выбирается начальное приближение. Каждое следующее приближение получается по формуле
,
Процесс останавливается по тому же критерию, что и в методе Ньютона. Метод будет сходиться, т.е. пределравен точному значению корня, если в окрестности корня выполнено неравенство
и начальное приближение находится достаточно близко к корню.

Преимущества и недостатки методов

Метод половинного деления требует отделения корня, и для достижения высокой точности приходится вычислять функцию много раз. Достижение заданной точности в этом методе гарантировано.

Метод Ньютона обладает очень быстрой сходимостью (квадратичная сходимость), т.е.

,

где c – точное значение корня; M – некоторая константа, зависящая от функции. Грубо говоря, начиная с некоторой итерации, число верных знаков после запятой станет удваиваться на каждой итерации.

Для гарантии сходимости метода Ньютона требуется выполнение довольно многих условий. Вообще говоря, начать вычисления по методу Ньютона можно и без проверки этих условий, но тогда сходимость может не наблюдаться.

Метод секущих обеспечивает для гладких функций скорость сходимости, близкую к скорости сходимости метода Ньютона. Он не требует вычисления производной функции. Если начальная точка взята далеко от корня, то сходимость может отсутствовать.

Метод итераций дает скорость сходимости значительно меньшую, чем метод Ньютона. При наличии сходимости действует оценка
, где
– числа,
,
;c –точное значение корня. Величины M , q зависят от функции и не зависят от номера итерации. Если же
близок к 1, тоq тоже близко к 1 и сходимость метода будет медленной. Счет по методу итераций можно начать без проверки условий на
и. В этом случае процесс может оказаться расходящимся, и тогда ответ не будет получен.

Существует много методов нахождения корней нелинейного уравнения, отличных от перечисленных. В MATHCAD функция root в формате
использует метод секущих, а если он не приводит к желаемым результатам, то – метод Мюллера. В последнем, в отличие от метода секущих, на каждом шаге берутся две дополнительные точки, график функции заменяется параболой, проходящей через три точки, и за следующее приближение берется точка пересечения параболы с осьюOx . В функции root в формате root(f (x ), x , a , b ) используются методы Риддера и Брента. Для нахождения корней многочлена в MATHCAD используется метод Лагерра.

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале x . В частности, в форме нелинейных уравнений представляются математические модели анализа статических свойств объектов проектирования или их элементов. Если функция f(x) представляет собой многочлен n-й степени видаa0 + a1 x + a2 x2 + ... + anxn, то уравнение (1) называется алгебраическим. Когда x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической, тригонометрической и т.п.), уравнение называется трансцендентным. Значение аргумента x, при котором функция f(x) обращается в нуль, т.е. f(x*) = 0, называется корнем уравнения.

В общем случае для функции f(x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержат коэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.

В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейного уравнения включает два этапа:

  • 1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов , внутри которых содержится один и только один корень уравнения;
  • 2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.

Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции

нелинейный уравнение половинный деление

где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0). Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала значения непрерывной функции f(x) имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b) , то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f"(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [, ], на котором определена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины

(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn),где x0 x1 ...xn и x0 = , xn =

Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j =) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1) 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале , где a = xi, b = xi+1. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е. = xi, = xi + 1, и процедура повторяется.

Необходимо отметить, что длина исходного интервала , на котором определена функция f(x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого интервала являются переменными величинами, которые должны задаваться в каждом конкретном случае с учетом физического смысла решаемой задачи.

На втором этапе решения нелинейных уравнений полученные приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами до некоторой заданной погрешности.

Метод половинного деления. Для этого метода существенно, чтобы функция f(x) была непрерывна и ограничена в заданном интервале , внутри которого находится корень. Предполагается также, что значения функции на концах интервала f(a) и f(b) имеют разные знаки, т.е. выполняется условие f(a)f(b) .

Обозначим исходный интервал как . Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 отрезок делится пополам, т.е. вычисляется начальное приближение x0 = (a0 + b0)/2. Если f(x0) = 0, то значение x0 = x* является корнем уравнения. В противном случае выбирается один из отрезков или , на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, так как корень лежит в этой половине. Далее выбранный отрезок обозначается как , вновь делится пополам точкой x1 = (a1 + b1)/2 и т.д. В результате на некоторой итерации получается точный корень x* уравнения f(x) = 0, либо бесконечная последовательность вложенных отрезков , , ..., , ..., таких, что f(ai)f(bi) (i =1, 2, ...), сходящихся к корню x*.

Если требуется определить корень x* с погрешностью, то деление исходного интервала продолжают до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2, что записывается в форме условия bi - ai 2.

В этом случае середина последнего интервала с требуемой степенью точности дает приближенное значение корня

x* (ai + bi) / 2.

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ и является наиболее универсальным среди итерационных методов уточнения корней. Его применение гарантирует получение решения для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она изменяет знак. В том случае, когда корни не отделены, будет найден один из корней уравнения. Метод всегда сходится, но скорость сходимости является небольшой, так как за одну итерацию точность увеличивается примерно в два раза. Поэтому на практике метод половинного деления обычно применяется для грубого нахождения корней уравнения, поскольку при повышении требуемой точности значительно возрастает объем вычислений.

Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале . Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе не дифференцируемых.

Разделим отрезок пополам точкой. Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке (Рис. 3.8), либо на отрезке (Рис. 3.9)

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Пример 4. Уравнение 5x - 6x -3 = 0 имеет единственный корень на отрезке . Решить это уравнение методом половинного деления.

Решение : Программа на языке Паскаль может быть такой:


function f(x: real): real;

f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;

a, b, e, c, x: real;

while abs(b-a)>e do

if f(a)*f(c)<0 then

writeln ("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);

Результат выполнения программы:

e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047


20.Алгоритм метода половинного деления.

1.Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а,b]: х=(а+b)/2.

2.Найти значения функции в точках а и х : F(a) и F(x) .

3.Проверить условие F(a)*F(x) < 0 . Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [а,х] b переместить в точку х (b=х) . Если условие не выполнено, то корень расположен на отрезке [х,b] . В этом случае необходимо точку а переместить в точку х (а=х) .

4.Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие /F(x)/ < e (заданная точность).

21.Метод простой итерации для поиска корней. Геометрическая интерпретация .

Исходное уравнение f(x)=0 эквивалентными преобразованиями приводится к виду с выделением неизвестного в левой части, то есть x=φ(x),где φ(x) – некоторая функция, связанная с исходной функцией f(x). Такая форма записи уравнения позволяет, задаваясь начальным приближением x 0, получить следующее, первое приближение x 1 =φ(x 0), далее получают второе приближение x 2 =φ(x 1) и так далее x n +1 =φ(x n)…. Последовательность {x n }= x 0, x 1, x 2, …, x n ,… называется последовательностью итераций или приближений с начальным значением x 0. Если функция φ(x) на непрерывна и существует предел ξ = lim x n при n→∞, то, переходя к пределу в равенстве x n +1 =φ(x n), найдем, что при n→ ∞: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n), то есть ξ=φ(ξ).Следовательно, если последовательность приближений сходится, то она сходится к корню уравнения (2), а значит и уравнения (1). В силу сходимости итерационного процесса этот корень можно вычислить при достаточно большом n с любой заданной точностью. Однако необходимо определить при каких условиях последовательность {x n }будет сходящейся. Получим связь между погрешностями двух соседних приближений - ε n и ε n +1: x n =ξ+ε n , x n +1 =ξ+ε n +1. Подставим эти представления в x n +1 =φ(x n) и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности корня:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ’(ξ)+(ε n 2 /2!)φ’’(η), где η Î [ξ; ξ+ε n ] Ì .Поскольку ξ - корень, то ξ=φ(ξ) , то получаем: ε n +1 =ε n φ’(ξ)+(φ’’(η)/2)ε n 2 .Так как ε<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n |ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.

Теорема о сходимости метода простых итераций. Пусть ξ - корень уравнения x=φ(x), функция φ(x) определена и дифференцируема на отрезке , причем для x Î все значения функции φ (x) Î . Тогда, если существует такое положительное число q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ’(х)>-1, то соседние приближения лежат по разную сторону от корня – такую сходимость называют двусторонней (или спиралевидной) – рис.2. Поскольку в этом случае корень заключен в интервале, концами которого являются соседние приближения – ξÎ(x n ,x n +1), то выполнение условия |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.


Чтобы можно было сравнивать итерационные методы по скорости сходимости, вводят следующие понятия:

Определение 1: Сходимость последовательности {x n } к ξ называется линейной (соответственно, итерационный процесс - линейно сходящимся ), если существует такая постоянная CÎ(0,1) и такой номер n 0 , что выполняются неравенства |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | для n≥n 0.

Для введенных ранее погрешностей это означает |ε n+1 |≤C|ε n |. В методе простой итерации в роли постоянной C выступает значение q, то есть метод сходится линейно.

Определение 2: Последовательность приближений {x n } сходится к ξ по меньшей мере с р -ым порядком (соответственно, итерационный процесс имеет по меньшей мере p -ый порядок), если найдутся такие константы C>0, p ≥1 и n 0 , что для всех n≥n 0 выполняются условия |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | р (или в других обозначениях |ε n+1 |≤C|ε n | p).

Метод дихотомии имеет свое название от древнегреческого слова, что в переводе означает деление надвое. Именно поэтому данные метод имеет еще второе название: метод половинного деления. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру "Угадай число", где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками "больше" или "меньше". Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым в случае если оно меньше - 25, если больше - 75. Таким образом, на каждом этапе (иттерации) неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Метод половинного деления в решении уравнения

Правильное решение уравнения методом половинного деления возможно лишь в том случае, если известно, что на заданном интервале имеется корень и он является единственным. Это совсем не означает что метод дихотомии может использоваться только для решения линейных уравнений. Для нахождения корней уравнений более высокого порядка методом половинного деления необходимо сначала отделить корни по отрезкам. Процесс отделения корней осуществляется путем отыскания первой и второй производной от функции и приравнивании их нулю f"(x)=0 и f""(x)=0. Далее определяются знаки f(x) в критических и граничных точках. Интервал, где функция меняет знак |a,b|, где f(a)*f(b)< 0.

Алгоритм метода дихотомии

Алгоритм метода дихотомии очень прост. Рассмотрим отрезок |a,b| в пределах которого имеется один корень x 1

На первой этапе вычисляется x 0 =(a+b)/2

Далее определеяется значение функции в этой точке: если f(x 0)< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.

Вычисления прекращаются, когда разность b-a меньше требуемой погрешности.

В качестве примера использования метода половинного деления найдем корень на интервале уравнения x 3 -3*x+1=0 с точностью в 10 -3

Как видно из таблицы корнем является 0,347. Колличество иттераций равно 10. Условие завершения: a-b=0,0009< 10 -3

Метод половинного деления или метод дихотомии является наиболее простым для решения уравнения в численных методах.

Скачать:

Решение уравнения методом дихотомии - Решение уравнения методом половинного деления в Паскале.


ВВЕДЕНИЕ 4

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 5

2. ВЫБОР И ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ 6

2.1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ 6

2.2. МЕТОД ХОРД 9

2.3. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ) 12

3 .СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ, ПРИНЯТЫМИ ПРИ ОПИСАНИИ ЗАДАЧИ И В ПРОГРАМЕ 15

4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОГРАММ И ЕЕ ОПИСАНИЕ 18

5. ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ 26

6. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТА 27

7. ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ 32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 34

ПРИЛОЖЕНИЯ 35

ПРИЛОЖЕНИЕ А 36

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. 38

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. 39

ВВЕДЕНИЕ

Паскаль − один из наиболее распространенных процедурно-ориентированных языков программирования 80 - 90-х годов, имеет свою достаточно интересную историю, начало которой положило объявление в 1965 г. конкурса по созданию нового языка программирования - преемника Алгола - 60. Участие в конкурсе принял швейцарский ученый Николаус Вирт, который работал на факультете информатики Стэндфордского университета. Проект, предложенный им, был отвергнут комиссией в 1967 г. Но Вирт не прекратил работу. Вернувшись в Швейцарию, совместно с сотрудниками Швейцарского федерального института технологии в Цюрихе, он уже в 1968 г. разработал новую версию языка Паскаль, названного так в честь великого французского математика и механика Блеза Паскаля, создавшего в 1642 г. первую счетную машину. В 1971 г. Н. Вирт выпустил описание своего языка, а в 1975 г. было разработано руководство для пользователей версии Паскаля, которая практически легла в основу стандарта языка. Но стандарт языка появился только в 1982 г.

Предназначенный для обучения, язык оказался очень простым и одновременно строгим. Однако вскоре выяснилось, что он также является достаточно эффективным в самых различных приложениях. Pascal поддерживает самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование). В связи с этим появились многочисленные реализации языка для разных машинных архитектур и наиболее удачной и популярной оказалась разработка фирмы Borland International для персональных IBM - совместимых ЭВМ. Эта реализация языка получила название Turbo Pascal (Турбо Паскаль) и имеет уже несколько версий.

Turbo Pascal представляет собой систему программирования, включающую в себя текстовый редактор, компилятор, компоновщик, загрузчик, отладчик, файловую систему, системную библиотеку, справочную систему. Все эти компоненты объединены в интегрированную среду с многооконным интерфейсом и развитой системой меню, что обеспечивает высокую производительность труда программиста при создании программ производственного, научного и коммерческого назначения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Написать программу на языке программирования Pascal, выполняющую решение нелинейного уравнения. Результат работы программы должен выводиться на экран и в файл.

В программе реализовать следующее меню:

1-Ввести данные из файла

2-Ввести данные с клавиатуры

Отладить программу на уравнении f(x)=x 2 -x-6 с точностью 0,001

2. ВЫБОР И ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

Процесс нахождения приближенного значения корней уравнения можно подразделить на два этапа 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности. Корень ξ считается отделённым на отрезке , если на этом отрезке уравнение

: метод половинного деления, Ньютона

2.1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Пусть дано уравнение f (x ) = 0, где f (х ) – непрерывная функция. Требуется найти корень этого уравнения ξ с точностью до ε, где е – некоторое положительное достаточно малое число.

Будем считать, что корень ξ отделен и находится на отрезке [а , b ], т. е. имеет место неравенство а ≤ ξ ≤ b . Числа а и b – приближенные значения корня ξ соответственно с недостатком и с избытком. Погрешность этих приближений не превышает длины отрезка b – а . Если b – а ≤ε, то необходимая точность вычислений достигнута, и за приближенное значение корня ξ можно принять либо а , либо b . Но если b – а > ε, то требуемая точность вычислений не достигнута и необходимо сузить интервалов котором находится корень ξ, т. е. подобрать такие числа а и b , чтобы выполнялись неравенства a b и . При вычисления следует прекратить и за приближенное значение корня с точностью до ε принять либо а , либо b . Следует отметить, что значение корня будет более точным, когда за приближенное значение корня приняты не концы отрезка а и b , а середина этого отрезка, т.е. . Погрешность в этом случае не превышает величины
.

Метод проб . Пусть дано уравнение f (x ) = 0 [f (x ) – непрерывная функция] и корень ε отделен на отрезке [а , b ], т. е. f (а ) ∙ f (b ) b – а > ε. Требуется найти значение корня ξ с точностью до ε (рис. 2.1)

Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом проб

Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом половинного деления

На отрезке [a , b ] выберем произвольным образом точку a 1 , которая разделит его на два отрезка и . Из этих двух отрезков следует выбрать тот, на концах которого функция принимает значения, противоположные по знаку. В нашем примере f (а ) ∙ f (a 1) > 0, f (a 1) ∙ f (b ) a 1 ,b ]. Затем на этом суженом отрезке опять произвольным образом возьмем точку а 2 и найдем знаки произведений f (a 1) ∙ f (a 2) и f (a 2) ∙ f (b ). Так как f (a 2)× f (b ) a 2 , b ]. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на котором находится корень, не станет меньше ε. Корень ξ получим как среднее арифметическое концов найденного отрезка, причем погрешность корня не превышает ε/2.

Метод проб в таком виде на ЭВМ не применяется. Для составления программ и расчетов на ЭВM метод проб применяется в виде так называемого метода половинного деления .

Пусть корень ξ уравнения f (х ) = 0 отделен и находится на отрезке [a , b ], т.е. f (a ) ∙ f (b ) b – а > ε [здесь f (х) – непрерывная функция]. Как и ранее, возьмем на отрезке [a , b ] промежуточную точку, однако не произвольным образом, а так, чтобы она являлась серединой отрезка [a , b ], т. е. с = (а + b )/2. Тогда отрезок [a , b ] точкой с разделится на два равных отрезка [а , с ] и [с , b ], длина которых равна (b – а )/2 (рис. 2.2). Если f (с ) = 0, то с – точный корень уравнения f (х ) = 0. Если же f (с ) ≠ 0, то из двух образовавшихся отрезков [a , с ] и [с , b ] выберем тот, на концах которого функция f (х) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [a l , b 1 ]. Затем отрезок [a l , b 1 ] также делим пополам и проводим те же рассуждения. Получим отрезок [а 2 , b 2 ], длина которого равна (b – а )/2 2 . Процесс деления отрезка пополам производим до тех пор, когда на каком-то n-м этапе либо середина отрезка будет корнем уравнения (случай, весьма редко встречающийся на практике), либо будет получен отрезок [a n , b n ] такой, что b n – а n = (b – а)/2 n ≤ ε и а n ≤ ξ ≤ b n (число n указывает на количество проведенных делений). Числа а n и b n – корни уравнения f (х ) = 0 с точностью до ε. За приближенное значение корня, как указывалось, выше, следует взять ξ = (a n + b n)/2, причем погрешность не превышает (b – а )/2 n +1 .

2.2. МЕТОД ХОРД

Метод хорд является одним из распространенных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В литературе он также встречается под названиями «метода ложного положения» (regula falsi), «метода линейного интерполирования» и «метода пропорциональных частей».

Пусть дано уравнение f(х) = 0, где f (х) – непрерывная функция, имеющая в интервале [а, b] производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [а, b], т.е. f(a)-f (b)

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох.

Ранее мы рассмотрели четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных.

Рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т. е, f"(х) ∙ f"" (х) > 0.

Пусть, например, f(a) 0, f"(х) > 0, f""(х) > 0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через точки А 0 (a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем точку x 1 пересечения хорды А и В с осью Ох. Это и будет приближенное значение корня.

Уравнение хорды, проходящей через точки А 0 и В, имеет вид

Найдем значение х = х 1 , для которого у = 0:

Эта формула носит название формулы метода хорд. Теперь корень ξ находится внутри отрезка . Если значение корня х 1 нас не устраивает, то его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку [х 1 , b].

Соединим точку А 1 (x 1 ; f (x 1) с точкой В (b; f (b)) и найдем х 2 – точку пересечения хорды А 1 В с осью Ох:

Продолжая этот процесс, находим

Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим приближенный корень с заданной степенью точности.

По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда f(а) > 0, f(b)

Теперь рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имею разные знаки, т.е. f"(x) ∙ f"(x)

Пусть, например, f(a) > 0, f(b) 0 (рис. 3.19, а). Соединим точки A (a; f (а)) и В 0 (b; f (b)) и запишем уравнение хорды, проходящей через А и B 0:

Найдем х 1 , как точку пересечения хорды с осью Ох, полагая у = 0:

Корень ξ теперь заключен внутри отрезка . Применяя меч од хорд к отрезку [а, x 1 ], получимМетоды решения нелинейного уравненияЛабораторная работа >> Математика

Студентов, изучающих предмет «Численные методы» и выполняющих лабораторные работы... В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного уравнения и... Поэтому большое значение имеют методы приближенного решение уравнения с заданной...

  • Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

    Методичка >> Информатика

    2) Умножение и деление приближенных чисел Очевидно, ... Следовательно, при умножении и делении приближенных чисел необходимо принимать... метод Гаусса-Кристоффеля (вычисление несобственных интегралов) и метод Маркова. Метод прямоугольников. Различают метод ...