1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e 2 (t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1)) 2 = 32,32– используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1)) 2 / ∑e 2 (t) = 32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d 1 = 1,08 и d 2 = 1,36

Т.е. наше d=2,213699 ? (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d’ ? (1,36;2)

не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d’=4-d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e max -e min / S e

е max - максимальный уровень ряда остатков,

е min - минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е max =2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е min =-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 ? (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768

E отн ср =8,853564 – хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у 10 =1,166666667+2,7*10=28,16666667

у 11 =1,166666667+2,7*11= 30,86666667,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t кр (30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S e =1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)- средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U 1 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5) 2 /60=1,997788

U 2 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5) 2 /60= 2,11426

u ниж =28,16666667-1,997788=26,16888

u верх =28,16666667+1,997788=30,16445

u ниж =30,86666667-2,11426=28,75241

u ниж =30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график:

Ai- расход сырья на единицу продукции; B - общий запас сырья; W - область допустимых ограничений; Тема 2. Метод математического моделирования в экономике. 2.1. Понятие “модель” и “моделирование”. С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических и др.) связаны два класса задач: 1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее...

Отрезка времени. Как правило, это задача, решение которой влечет за собой постановки близких или аналогичных задач. Глава 2. Экономико-математическое моделирования процессов принятия управленческих решений. В классификации решений по времени действия выражается принцип их цикличности, определенная хронологическая последовательность, временные рамки которой неизбежно должны учитываться в процессе...

Производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций. Глава 2. История развития экономико-математического моделирования в США Для характеристики математического направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии. Как в теоретическом, ...

Вопросы должны быть получены в ходе маркетинговых и проектно-изыскательских работ на фазе проектирования спортивных сооружений. И уже на этой стадии в процесс активно включаются экономико-математические методы, задействуется существующий аппарат математического моделирования и прогнозирования. Данные методы и расчеты совершенно необходимы для определения: сроков окупаемости отдельных предприятии...

Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > d U , то гипотеза не отвергается;

Если d L < d < d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок ] .

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

где n - число наблюдений в модели;

V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов.

1. Методы исключения автокорреляции (отклонений от тренда, последовательных разностей, включения фактора времени).

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить воздействие фактора времени на формирование уравнений временного ряда. Основные методы делят на 2 группы:

Основанные на преобразовании уровней ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используем далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. 1.Метод последовательных разностей. 2.Метод отклонения от трендов.

Основанные на изучении взаимосвязей исходных уровней временных рядов при исключении воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели: включение в модель регрессии фактора времени.

Критерий Дарбина-Уотсона (или статистика DW).

Это наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка. Статистика Дарбина - Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии

определяются значения отклонений Рассчитывается

статистика

0 положительная автокорреляция;

d t зона неопределенности;

d u - d u - автокорреляция отсутствует;

• 4 - d u
• 4 - d/ отрицательная автокорреляция.

Можно показать, что статистика (2.64) тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой:

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения г изменяются от -1 до + 1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. Статистика DW, равная 0, соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (г= +1). При отрицательной автокорреляции (г= - 1), DW= 4 и выражение в скобках равно двум.

Ограничения критерия Дарбина - Уотсона следующие.

• 1. Статистика DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.
• 2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

• 3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).
• 4. Критерий Дарбина - Уотсона неприменим к авторегрессионным моделям вида

Для моделей (2.66) предлагается /г-статистика Дарбина:

где р - оценка р первого порядка (2.65);

D(c) - выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной у, _ ь п - число наблюдений.

При большом п и справедливости нуль-гипотезы Н 0: р = 0 И- статистика имеет стандартное распределение h ~ N{ 0, 1). Поэтому при заданном уровне значимости определяется критическая точка из условия:

и Л-статистика сравнивается с иар.. Если И > иа/ 2 , то нуль-гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Обычно значение р рассчитывается в первом приближении по формуле р&1- DIV /2, a D(c) равна квадрату стандартной ошибки т с оценки коэффициента с. Следует отметить, что вычисление /г-статистики невозможно при nD(c) > 1.

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель, в частности ввести какой-нибудь неучтенный фактор или изменить форму модели, например, с линейной на полулогарифмическую или гиперболическую. Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими-то внутренними свойствами ряда {е,}, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR{ 1).

Рассмотрим /Щ1) на примере парной регрессии:

Тогда соседним наблюдениям согласно (2.68) соответствуют формулы:

Если случайные отклонения определяются выражением (2.65), где коэффициент р известен, то преобразования формул (2.69) и (2.70) дает:

Сделаем в (2.71) замены переменных: получим с учетом выражения (2.65):

Поскольку случайные отклонения у, удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки а и b уравнения (2.73) будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок. По преобразованным значениям всех переменных с помощью обычного МНК вычисляются оценки параметров а и Ь, которые затем можно использовать в регрессии (2.68).

Однако способ вычисления преобразованных переменных (2.72) приводит к потере первого наблюдения, если нет информации о предшествующих наблюдениях. Это уменьшает на единицу число степеней свободы, что при больших выборках не очень существенно, однако при малых выборках приводит к потере эффективности. Тогда первое наблюдение восстанавливается с помощью поправки Прайса- Уинстена:

Для преобразования /Щ1), а также при введении поправок (2.74) важно оценить коэффициент авторегрессии р. Это делается несколькими способами. Самое простое - оценить р на основе статистики

где г берется в качестве оценки р.

Формула (2.75) хорошо работает при большом числе наблюдений.

Существуют и другие методы оценивания р: метод Кокрена- Оркатта и метод Хилдрета-Лу. Рассмотрим метод Кокрена-Оркатта пошагово:

• 1. Сначала к непреобразованным исходным данным применяется обычный МНК, для которого рассчитываются остатки.
• 2. Затем в качестве приближенного значения коэффициента авторегрессии р берется его МНК-оценка в регрессии (2.65).
• 3. Проводится преобразование исходных переменных по формулам (2.72), и к преобразованным данным применяется МНК для определения новых оценок параметров а и Ь.
• 4. Процедура повторяется, начиная с п. 2.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение р мало отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Такая процедура реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

где Ду, = у, - у 1, Дх, = х, - х,_ 1 - так называемые первые разности (назад).

Из уравнения (2.76) по МНК оценивается коэффициент Ь. Параметр а здесь не определяется непосредственно, однако из МНК известно, что а = у -Ьх.

В случае р = -1, сложив (2.69) и (2.70) с учетом (2.65), получаем уравнение регрессии.

Критерий Дарбина - Уотсона

Одним из самых простых, а потому широко применяемых на практике критериев проверки на наличие (отсутствие) автокорреляции является критерий Дарбина - Уотсона

и }