Характеристика уравнения Бернулли
Определение 1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ - непрерывные функции, а $n$ - некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.
При этом на число $n$ накладываются ограничения:
- $n\ne 0$, так как при $n = 0$ дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
- $n\ne 1$, так как если мы имеем в качестве $n$ единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.
Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$.
Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.
Замечание 1
Даниил Бернулли - физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике.
Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:
- Умножаем уравнение на число $y^{-n} $ и получаем $y^{-n} \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^{1-n} =Q\left(x\right)$.
- Применяем замену $z=y^{1-n} $ и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем $z"=\left(1-n\right)\cdot y^{-n} \cdot y"$, откуда $\frac{z"}{1-n} =y^{-n} \cdot y"$.
- Подставляем значения $y^{1-n} $ и $y^{-n} \cdot y"$ в данное дифференциальное уравнение и получаем $\frac{z"}{1-n} +P\left(x\right)\cdot z=Q\left(x\right)$ или $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом:
- Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
- Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
- Возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$.
В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.
При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $.
Представляем его в форме относительно замены $z$:
$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z"-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом.
Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.
Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.
Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.
Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $.
Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $:
$y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.
Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$:
Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $.
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки
Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки.
Применяем подстановку $y=u\cdot v$.
После дифференцирования получаем:
Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v"+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.
Получаем:
$\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $;
разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $;
интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $.
Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u"\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v"+\frac{v}{x} =0$.
После простых преобразований получаем: $u"=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$.
Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$.
Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$.
Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Дифференциальное уравнение Бернулли
- это уравнение вида:
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Разделим его на y n
.
При y ≠ 0
или n < 0
имеем:
(2)
.
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2)
и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z
,
дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0
,
следует рассмотреть случай y = 0
.
При n > 0
,
y = 0
также является решением уравнения (1)
и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1)
также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v
,
где u
и v
- функции от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ = u′ v + u v′
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
;
(3)
.
В качестве v
возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)
.
Уравнение (4)
- это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x)
.
Подставляем частное решение в (3)
. Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4)
, то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v
- уже известная функция от x
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv
.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x
является функцией от y
.
Подставим и умножим на :
;
;
(П.1)
.
Это - уравнение Бернулли с n = 2
.
Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1)
, только обозначением переменных (x
вместо y
). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v
,
где u
и v
- функции от y
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (П.1)
:
;
(П.2)
.
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y)
,
удовлетворяющую уравнению:
(П.3)
.
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0
,
поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3)
.
;
.
Подставим в (П.2)
учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)
):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0
имеем:
;
(П.4)
;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Дифференциальное уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли
.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 - с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда
Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим 
, или, что то же самое, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .
Пример 1
. Найти общее решение уравнения y" + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z" + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем 
откуда 
или, что то же самое, 
.
Пример 2
. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2
Разделим на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
Получаем: -z" + z = -1 или z" - z = 1
Пример 3
. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z"=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz"/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z"=4z/x
Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Уравнение вида y’ + Р(х)у = Q(x), где Р(х) и Q(x) – известные функции от х, линейные относительно функции у и её производной y’, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если q(x)=0, уравнение называется линейным однородным уравнением. q(x)=0 – линейное неоднородное уравнение.
Линейное уравнение приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными при помощи подстановки у = u*v, где u = u(х) и v = v(x) – некоторые вспомогательные непрерывные функции.
Итак, у = u*v, у’ = u’*v + u * v’ (1),
тогда исходное уравнение перепишем в виде: u’*v + u * v’ + Р(х)*v = Q(x) (2).
Так как неизвестная функция у ищется в виде произведения двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая – определяться уравнением (2).
Выберем так, чтобы v’ + Р(х)*v = 0 (3). Для этого достаточно, чтобы v(x) была частным решением уравнения (3) (при С = 0). Найдём это решение:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получим второе уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим функцию u(x):
u’
*
=
Q(x) ; du = Q(x) *; u =
+ C (5)
Окончательно получаем:
y(x)
= u(x)*v(x)
=
*(
+C)
Уравнение Бернулли: y ’ + y = x * y 3
Данное уравнение имеет вид: y’ + Р(х)*у = y’’ * Q(x), где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции.
Если n = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифф.уравнением. Если n = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда n ≠ 0, 1, ур. Бернулли сводится к линейному дифф.уравнению с помощью подстановки: z = y 1- n
Новое дифф.уравнение для ф-ции z(x) имеет вид: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и может быть решено теми же способами, что и линейные дифф.уравнения 1-ого порядка.
20. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
|
|
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Действительно, тогда:
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
Дифф. уравнения порядка выше второго имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X .
Аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.
Теорема.
Общим
решением y
0
линейного
однородного дифференциального
уравнения на
интервале X
с
непрерывными коэффициентами на X
является
линейная комбинация n
линейно
независимых частных решений ЛОДУ 
с
произвольными постоянными коэффициентами 
,
то есть 
.
Теорема.
Общее решение y линейного неоднородного дифференциального
уравнения на интервале X с непрерывными на том же
промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму ,
где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь
его
частное решение, а 
–
общее решение соответствующего
однородного дифференциального
уравнения .
21. Испытания и события. Виды событий. Примеры.
Испытание – создание определённого комплекса условий для совершения событий. Пример: бросание игральной кости
Событие – появление\непоявление того или иного исхода испытания; результат испытания. Пример: выпадение числа 2
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего чем 5
Достоверное – событие, которое неизбежно происходит при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего или равного 1
Возможное – событие, которое может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 6
Невозможное – событие, которое не может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 7
Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в ненаступлении события А. Обозначение: Ᾱ. Пример: А – выпадение числа 2, Ᾱ - выпадение любого другого числа
События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Пример: выпадение при одном броске чисел 1 и 3.
События А и В называются совместными, если они могут появиться в одном испытании. Пример: выпадение при одном броске числа, большего, чем 2, и числа 4.
22. Полная группа событий. Примеры.
Полная группа событий – события A, B, C, D, …, L, которые принято считать единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них обязательно наступит. Пример: выпадение на игральной кости числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.
23. Частота события. Статистическое определение вероятности.
Пусть проведено n испытаний, причём событие А наступило m раз. Такое отношение m:n является частотой наступления события А.
Опр. Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях испытаний.
Вероятность вычисляется до опыта, а частота – после него.
24. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события.
Вероятностью события х называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных попарно несовместных и единственно возможных исходов опыта. Р(А) =
Свойства вероятности события:
Для любого события А 0<=m<=n
Поделив каждый член на n, получим для вероятности любого события А: 0<=Р(А) <=1
Если m=0, то событие невозможно: Р(А)=0
Если m=n, то событие достоверно: Р(А)=1
Если
m 25.
Геометрическое определение вероятности.
Примеры.
Классическое
определение вероятности требует
рассмотрение конечного числа элементарных
исходов, причем равновозможных. Но на
практике часто встречаются испытания,
число возможных исходов которых
бесконечно. Опр
.
Если точка случайным образом появляется
одномерной\ двумерно\ или 3х мерной
области меры S
(мера – ее длина, площадь или объём) то
вероятность ее появления в части этой
области меры S
равна где
S
– геометрическая мера, выражающая общее
число всех
возможных и равновозможных
исходов данного испытания, а Si
– мера, выражающая количество
благоприятствующих событию A
исходов. Пример
1.
Круг радиусом R помещен меньший круг
радиусом г. Найти вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в больший круг,
попадет также и в малый круг. Пример
2.
Пусть
отрезок длиной l включается в отрезок
длиной L. Най ти вероятность события А
«наудачу брошенная точка попала на
отрезок длиной l». Пример
3
. В круге произвольно выбирается точка.
Какова вероятность того, что ее расстояние
до центра круга больше половины? Пример
4.
Два лица и условились встретиться в
определённом месте между двумя и тремя
часами дня. Пришедший первым ждет другого
в течение 10 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи этих
лиц, если каждый из них может прийти в
любое время в течение указанного часа
независимо от другого? 26.
Элементы комбинаторики: Размещение,
перестановка, сочетания.
1)
Перестановкой
называется
установленный в конечном множестве
порядок. Число
всех различных перестановок вычисляется
по формуле 2)
Размещением
из
n
элементов по m
называется
всякое упорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее m
элементов. 3)
Сочетанием
из
n
элементов
по m
называется
всякое неупорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее элементов.
