Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может быть невзвешенной (простой) или взвешенной.

Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:

· для несгруппированных данных

· для сгруппированных данных

Порядок расчета дисперсии взвешенную:

1. определяют среднюю арифметическую взвешенную

2. определяются отклонения вариант от средней

3. возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней

4. умножают квадраты отклонений на веса (частоты)

5. суммируют полученные произведения

6. полученную сумму делят на сумму весов

Формула для определения дисперсии может быть преобразована в следующую формулу:

- простая

Порядок расчета дисперсии простой:

1. определяют среднюю арифметическую

2. возводят в квадрат среднюю арифметическую

3. возводят в квадрат каждую варианту ряда

4. находим сумму квадратов вариант

5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат

6. определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней

Также формула для определения дисперсии взвешенной может быть преобразована в следующую формулу:

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической. При пользовании преобразованной формулой исключается дополнительная процедура по расчету отклонений индивидуальных значений признака от х и исключается ошибка в расчете, связанная с округлением отклонений

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;

3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз ( раз), то дисперсия уменьшится в раз

Среднее квадратичное отклонение S - представляет собой корень квадратный из дисперсии:

· для несгруппированных данных:

;

· для вариационного ряда:

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащей фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.

Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан в таблице.

Размер прибыли, млн. руб.	Число банков	расчетные показатели
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Итого:			121,70		17,640	23,126

Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение показывают на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц и исследуемой совокупности. Так, в данном случае средняя величина колеблености размера прибыли составляет: по среднему линейному отклонению 0,882 млн. руб.; по среднему квадратическому отклонению - 1,075 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака, близко к нормальному, то между S и d существует взаимосвязь: S=1,25d, или d=0,8S. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. Независимо от формы распределения 75 значений признака попадают в интервал х 2S, а по крайне мере 89 всех значений попадают интервал х 3S (теорема П.Л.Чебышева).

Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.

Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.

Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок :

Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина 2 называется дисперсией данного нормального закона.

Среднее арифметическое

Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений a i с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое :

a - среднее арифметическое,

a i - измеренное значение на i-м шаге.

Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) a i величины А от среднего арифметического : a i - a.

Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:

2 - дисперсия,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического . В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

, где

a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического :

, где

V - коэффициент вариации,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое.

Чем больше значение коэффициента вариации , тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Среднее линейное отклонение

Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

, где

_
a - среднее линейное отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии

Показатель асимметрии (A) и его ошибка (m a) рассчитывается по следующим формулам:

, где

А - показатель асимметрии,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Показатель эксцесса

Показатель эксцесса (E) и его ошибка (m e) рассчитывается по следующим формулам:

, где

Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней, которое рассчитывается следующим образом:

Элементарное алгебраическое преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к следующему виду:

Эта формула часто оказывается более удобной в практике расчетов.

Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется такое соотношение:

Зная это соотношение, можно по известному показатели определить неизвестный, например, но (I рассчитать а и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (рублях, тоннах, годах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.

Для альтернативных признаков, например наличия или отсутствия высшего образования, страховки, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения такие:

Покажем расчет среднего квадратического отклонения по данным дискретного ряда, характеризующего распределение студентов одного из факультетов вуза по возрасту (табл. 6.2).

Таблица 6.2.

Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 2-5 табл. 6.2.

Средний возраст студента, лет, определен по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2):

Квадраты отклонения индивидуального возраста студента от среднего содержатся в графах 3-4, а произведения квадратов отклонений на соответствующие частоты - в графе 5.

Дисперсию возраста студентов, лет, найдем по формуле (6.2):

Тогда о = л/3,43 1,85 *ода, т.е. каждое конкретное значение возраста студента отклоняется от среднего значения на 1,85 года.

Коэффициент вариации

По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариантов и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с различными средними уровнями непосредственно нельзя. Чтобы иметь возможность для такого сравнения, нужно найти удельный вес среднего отклонения (линейного или квадратического) в среднем арифметическом показателе, выраженном в процентах, т.е. рассчитать относительные показатели вариации.

Линейный коэффициент вариации вычисляют по формуле

Коэффициент вариации определяют по следующей формуле:

В коэффициентах вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, возникающая вследствие различий в величине средних арифметических. Кроме того, показатели вариации дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

По данным табл. 6.2 и полученным выше результатам расчетов определим коэффициент вариации, %, по формуле (6.3):

Если коэффициент вариации превышает 33%, то это свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Полученное в пашем случае значение говорит о том, что совокупность студентов по возрасту однородна по своему составу. Таким образом, важная функция обобщающих показателей вариации - оценка надежности средних. Чем меньше с1, а2 и V, тем однороднее полученная совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Согласно рассматриваемому математической статистикой "правилу трех сигм" в нормально распределенных или близких к ним рядах отклонения от средней арифметической, не превосходящие ±3ст, встречаются в 997 случаях из 1000. Таким образом, зная х и а, можно получить общее первоначальное представление о вариационном ряде. Если, например, средняя заработная плата работника по фирме составила 25 000 руб., а а равна 100 руб., то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что заработная плата работников фирмы колеблется в пределах (25 000 ± ± 3 х 100) т.е. от 24 700 до 25 300 руб.

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k .

Математическое ожидание M x случайной величины x равно:

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p (x < x 1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2 , и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2 , одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k .

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Пример 2

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x .

Ответ. 0,16, 0,4.

Модель 4.6. Стрельба в мишень

Пример 3

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

Свойства математического ожидания:

• Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Пример 4

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x ) = 3,5. Значит, для двух кубиков

Свойства дисперсии:

• Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:

D x + y = D x + D y .

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению,

Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
При определении среднего квадратического отклонения при достаточно большом объеме изучаемой совокупности (n > 30) применяются формулы:

Похожая информация.

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение . Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

• Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
• Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности ).
• Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение . Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего :

Наконец, чтобы вычислить дисперсию , каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм 2 .

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

Мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = мм 2 .

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал , Сергей Валерьевич