Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 5806

Как пользоваться калькулятором

Введите числа в поле для ввода
В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
нажмите кнопку "Найти НОД и НОК"

Как вводить числа

Числа вводятся через пробел, точку или запятую
Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД .
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК .

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :

Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 - это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Затем - те, которые содержат в себе три простых делителя:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества ) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

мы получаем:

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:

ПД(140) = {2, 5, 7}.

ПД(105) = {3, 5, 7}.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) - только один. Множество ПД(140) - это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.

Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение , которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД(105) = {3, 5, 7};

ПД(140) = {2, 5, 7};

ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]

Итак, мы выяснили, что дробь

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД ) чисел 105 и 140. Это записывается как

НОД(105, 140) = 35.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Отсюда видно, что

НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

В этом случае,

НОД(42, 55) = 1.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми . Если из таких чисел составить дробь, например,

то такая дробь является несократимой .

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

		a / НОД(a , b )
		b / НОД(a , b )

Здесь предполагается, что a и b - натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби - на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, - и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК ) чисел 105 и 140. Это записывается так:

НОК(105, 140) = 420.

Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что

105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d :

b ∙ d = НОК(b , d ) ∙ НОД(b , d ).

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:


3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа a называется число a , помноженное само на себя, то есть a ∙a . (Как нетрудно видеть, оно равно площади квадрата со стороной a ).