Изучим работу n-канальной (n > 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П вх с интенсивностью. Поток обслуживании каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью µ. На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожидания каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т ож со средним значением, после которого заявка покидает систему необслуженной. Временной интервал Т ож является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой.
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет Марковским.
Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с «нетерпеливыми» заявками.
Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, как под обслуживанием, так и стоящих в очереди: S k (k = 0,1,…n) - k заявок под обслуживанием (k каналов заняты, очереди нет), S n+r (r = 1,2,…) - п заявок под обслуживанием (все п каналов заняты) и r заявок в очереди.
Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний.
Размеченный граф состояний указан на рис. 1.
Рис. 1.
Из состояния в состояние слева направо СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П вх с интенсивностью. Следовательно, плотности вероятностей этих переходов
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Переход СМО из состояния без очереди S k , k = 1,…,n , в соседнее слева состояние S k-1 , (k = 1,…,n) (в котором также не будет очереди) происходит под действием суммарного потока, слагающегося из к потоков обслуживания занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сумму интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна kµ . Поэтому под стрелками налево от состояния s n до состояния s 0 проставлены плотности вероятностей переходов
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
На систему в состоянии с очередью S n+r , r = 1,2,… , действует суммарный поток - результат наложения n потоков обслуживании и r потоков уходов. Поэтому интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков nµ+rщ . Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния S n+r ,(r = 1,2,…) в среднее S n+r-1 ,(r = 1,2,…) и, таким образом,
k,k-1 =nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)
Итак, плотности вероятностей переходов системы справа налево, учитывая (2) и (3), можно записать в объединённой форме
Структура графа говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения.
Подставим (1) и (4) для k=1,…,n+m в формулу
Введем в рассмотрение величину, которую можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов, и которая показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки. Подставляя в (5) и получим:
Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то заявка, поступившая во входящем потоке, будет принят; в систему, т.е. отказ со стороны системы заявка не получает. Поэтому для СМО с «нетерпеливыми» заявками вероятность принятия в систему p сист =1, а вероятность отказа принятия в систему p отк =0 . Понятие «отказа принятия в систему» не следует смешивать с понятием «отказа в обслуживании», поскольку, в силу «нетерпеливости», не каждая поступившая (принятая) в систему заявка, будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p ху и вероятности того, что заявка будет обслужена, p об . При этом, вероятность p об представляет собой относительную пропускную способность Q и p ху =1- p об .
Подсчитаем среднее число заявок в очереди. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N оч представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величина N оч может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид
|
N оч |
||||||
|
p n+1 |
p n+2 |
p n+r |
где p= p 0 + p 1 +…+ p n . Следовательно,
или подставляя сюда (7), получим
На каждую заявку в очереди действует поток «уходов» Пух с интенсивностью щ. На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков «уходов», и имеющий интенсивность. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Следовательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО
Тогда по определению относительной пропускной способности,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/),
где щ/ = показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П вх .
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала µ. Воспользовавшись равенством (11), будем иметь:
Среднее число занятых каналов можно подсчитать и независимо от среднего числа заявок в очереди, а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, закон распределения которой имеет вид
|
p 0 |
p 1 |
p 2 |
p n-1 |
где p = p n + p n+1 +…+ p n+1 + …. Но так как событие, состоящее в том, что все n каналов заняты, противоположно событию, состоящему в том, что не все n каналов заняты, а вероятность последнего события равна
p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1 , то p = 1 - (p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1) .
Но тогда из (11) получим:
Используя формулы (11) и (13), получим формулу для среднего числа заявок, находящихся в системе:
Выведем формулу для среднего времени ожидания заявки в очереди. Оно будет зависеть от данного среднего времени ограничивающего продолжительность пребывания заявки в очереди, для которого либо
либо найдется натуральное число i > 2 такое, что
Умножая неравенства (14) и (15) на, получим соответственно неравенства
Рассмотрим случай (14) и несовместные гипотезы состоящие в том, что система находится в состоянии. Вероятности этих гипотез
Если заявка поступит в СМО при гипотезет.е. когда система пребывает в одном из состояний в каждом из которых не все каналы заняты, то заявке не придется ожидать в очереди -она сейчас же попадет под обслуживание свободного канала. Поэтому условное математическое ожиданиеслучайной величинывремени ожидания заявки в очереди при гипотезе, представляющее собой среднее время ожидания заявки в очереди при гипотезеравно нулю:
Если заявка поступит в систему при гипотезет.е. когда СМО находится в одном из состоянийв котором все п к-п заявок (при к = п в очереди заявок нет), то среднее время освобождения одного из п занятых каналов равно, а среднее время обслуживания к-п заявок, стоящих в очереди перед поступившей в систему заявкой, равно Поэтому среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь на обслуживание поступившей заявки, равно.Так как, то в силу правого неравенства (14),
Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы поступившая в систему заявка была принята к обслуживанию, больше времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка задержится в очереди на среднее времяи покинет систему не обслуженной. Следовательно, условное математическое ожидание величиныпри гипотезе
Теперь рассмотрим те же гипотезыв случае (15). В этом случае также справедливы равенства (16).
Если заявка поступит в систему при одной из гипотез т.е., когда СМО находится в одном из состояний в котором все п каналов заняты и в очереди перед поступившей заявкой уже стоят к-п заявок (при к - n в очереди заявок нет), то так же, как и в случае (14), среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь этой заявки на обслуживание, равно ограничивающим пребывание заявки. Так както, в силу левого неравенства (15),
Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы пришедшая в систему заявка была принята к обслуживанию, не больше среднего времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка не уйдет из очереди и дождется приема на обслуживание, потратив на ожидание в очереди среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе
Пусть теперь заявка поступила в систему при одной из гипотез Н ю к = n+i- т.е., когда СМО находилась в одном из состояний..., в котором все п каналов заняты и в очереди уже стоят к-п заявок. Так как то из неравенства (15):
а потому пришедшая заявка задержится в очереди на среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе
По формуле полного математического ожидания получим:
В случае (15) поступившая заявка будет принята к обслуживанию, если только в момент её поступления СМО находится в одном из состояний тогда вероятность того, что заявка будет обслужена
При / = 1 формула (25) превращается в (24), поэтому для вероятности обслуживания можно записать одну формулу:
Зная вероятность обслуживания, можно вычислить вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной:
Среднее время пребывания заявки в системе можно вычислить по формуле
где- среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди, которое можно подсчитать па формуле
6. Построение и анализ модели систем массового обслуживания
Рассмотрим практическую задачу на использование СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания в очереди.
С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят два самолета-дозаправщика. Дозаправка одного самолета длится в среднем около 10 минут. Если оба самолета-дозаправщика заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки). Среднее время ожидания - 20 минут. Самолет, не дождавшийся дозаправки, вынужден садиться на запасной аэропорт. Интенсивность полетов такова, что в среднем за 1 час в район дозаправки прибывает 12 самолетов. Определить:
Вероятность того, что самолет будет дозаправлен.
Среднее число занятых дозаправщиков.
Среднее число самолетов в очереди.
Среднее число самолетов под обслуживанием.
Необходимо вычислить основные характеристики эффективности данной СМО, при условии, что заданы следующие входные параметры:
- · количество каналов обслуживания;
- · интенсивность входящего потока заявок;
- · интенсивность потока обслуживания;
- · среднее время, ограничивающее пребывание заявок в очереди.
Рассматриваемая СМО является многоканальной системой массового обслуживания без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Количество каналов, интенсивность входящего потока заявок, интенсивность потока обслуживания и количество мест в очереди заданы.
В данной СМО каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку. Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание, если же заявки отсутствуют, то система простаивает.
Определим, что происходит, когда к моменту поступления заявки все каналы заняты - она становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов. Если в момент поступления заявки все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему.
Критерии эффективности функционирования СМО:
- · Вероятность простоя системы;
- · Вероятность отказа системы;
- · Относительная пропускная способность.
- · Среднее время пребывания заявки в очереди.
Данная система моделируется многоканальной СМО с «нетерпеливыми» заявками.
Параметры системы:
число каналов обслуживания n = 2 ;
интенсивность входящего поток заявок = 12 (самолетов в час);
интенсивность потока обслуживания µ = 6 (самолетов в час);
среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, следовательно, интенсивность потока уходов щ = 1/= 3 (самолета) в час.
Расчеты произведены с помощью разработанной в Turbo Pascal программе. Язык Turbo-Pascal - один из самых распространенных языков программирования компьютеров. К важным достоинствам языка Turbo-Pascal относится небольшой размер компилятора, высокая скорость трансляции программ, компиляции и их компоновки. Кроме того, удобство и высокое качество дизайна диалоговой оболочки, делают написание и отладку программ наиболее удобным в сравнении с альтернативными языками нового поколения.
Для анализа работы СМО необходимо исследовать поведение данной системы при различных входных параметрах.
В первом варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=2.
Во втором варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=3.
В третьем варианте л=12, µ=6, щ=4, число каналов n=2.
Все результаты расчетов приведены в Приложение 2.
В результате анализа полученных данных (Приложение 2), были сделаны следующие выводы.
С увеличением числа каналов увеличивается вероятность простоя системы и вероятность дозаправки на 50%.
При изменение же только времени пребывания заявки в очереди, не увеличивая кол-во каналов, изменилась интенсивность потока уходов, в результате уменьшилось число обслуживаемых самолетов и число самолетов в очереди.
По-моему мнению, необходимо набрать и обучить дополнительный обслуживающий персонал, чтобы увеличить интенсивность потока уходов, тогда будет меньше затрачиваться времени на простой дозаправщиков и не возникнет необходимости в дополнительном канале.
Хотя, выбирая наиболее оптимальные параметры, при которых работа СМО будет наиболее эффективной, нужно еще учитывать технический и экономический фактор, так как приобретение дополнительного канала обслуживания или изменение интенсивности потока уходов, требует определенных материальных затрат и затрат на подготовку кадров.
Пери Куклин (Perry Kuklin)
Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:
1. Развлеките посетителей
Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.
2. Вперёд, в виртуальность
Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?
Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.
3. Следите за очередями
Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.
Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.
Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.
4. Добавьте немного мобильности
Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.
Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).
5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом
В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?
Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.
Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.
Перевод Леонида Пеленицына
Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.
Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.
Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.
Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.
(0‑1)
где.
Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):
(0‑2)
Относительная пропускная способность .
(0‑3)
Абсолютная пропускная способность .
(0‑4)
Среднее число занятых каналов.
Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим
(0‑5)
Среднее число находящихся в очереди заявок.
Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:
(0‑6)
(0‑7)
где = .
Среднее число находящихся в системе заявок.
(0‑8)
Среднее время ожидания заявки в очереди .
Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).
(0‑9)
Среднее время пребывания заявки в системе.
Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:
(0‑10)
Содержание работы .
Подготовка инструментария эксперимента .
Выполняется в соответствии с общими правилами.
Расчет на аналитической модели .
1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.
|
Параметры |
Аналитическая
|
Имитационная |
|||||||||||||||
|
n |
m |
T a |
Ts |
ρ |
χ |
P0 |
P1 |
p2 |
Pотк |
W |
nож |
q |
A |
Pотк |
W |
q |
A |
2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:
n =1,2,3
m=1,3,5
Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:
= <порядковый номер в списке группы>
3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.
Эксперимент на имитационной модели .
1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.
2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.
Результаты запусков внесите в таблицу.
3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.
Анализ результатов .
1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.
2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.
Оптимизация параметров СМО .
Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:
- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,
- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,
- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.
1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:
Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.
Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).
Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.
В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.
В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).
В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:
- число заявок в единицу времени
N r =A
- суммарный доход в единицу времени
I S = I r *N r
- суммарный расход в единицу времени
E S =E s *n + E q *m
- прибыль в единицу времени
P = I S - E S
где
I r - доход от одной заявки ,
E s - расход на один прибор ,
E q - расход на одно место в очереди
2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.
Найдите m опт для n =1 ,2,3.
3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.
Отчет по работе :
Отчет по работе должен включать:
- исходные данные,
- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,
Графики для P отк ,
- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,
- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.
Контрольные вопросы :
1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.
2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?
3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?
4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?
5) Как найти относительную пропускную способность?
6) Чему равна абсолютная пропускная способность?
7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?
8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.
Задачи .
1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.
2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.
3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.
4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.
5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.
6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.
7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.
8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).
9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО (онлайн):
Интенсивность потока обслуживания:
1. Интенсивность нагрузки
.
ρ = λ t обс = 120 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя каналов).
Следовательно, 12% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 7.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. Доля заявок, получивших отказ
.
Значит, 3% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок
.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0311 = 0.97
Следовательно, 97% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
.
n з = ρ p обс = 2 0.97 = 1.9 каналов
Среднее число простаивающих каналов
.
n пр = n - n з = 3 - 1.9 = 1.1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием
.
Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность
.
A = p обс λ = 0.97 120 = 116.3 заявок/час.
.
t пр = p отк t обс = 0.0311 0.0166 = 0 час.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди
.
ед.
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок
.
L обс = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 ед.
13. Среднее число заявок в системе
.
L CMO = L оч + L обс = 0.51 + 1.94 = 2.45 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО
.
час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 4 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 116.3 / 181 = 64% от номинальной производительности.
В этом разделе рассмотрим СМО типа М/М/n/m< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
Это ограничение носит принципиальный характер, т.к. при вычислении вероятностей состояний СМО необходимо знание не только текущего состояния (числа требований в системе), но и того, как давно пришли требования, ожидающие обслуживания. Таким образом, процесс К(t) перестает быть марковским.
Время ожидания в очереди может быть ограничено как детерминированной, так и случайной величиной. В обеих случаях процесс К(t), как уже было сказано, характеризуется наличием последействия. Однако, способы формирования на его основе марковской модели СМО существенно различаются.
7.3.1. Время ожидания ограничено случайной величиной τ
В этом случае все зависит от закона распределения ограничения , т.к. именно ограничение вносит в систему последействие. Поэтому вернуть процессу К(t) марковость крайне просто. Достаточно принять для описания случайной величины экспоненциальное распределение. Однако при этом нельзя забывать, что такая операция возможна лишь в том случае, когда реальное распределение или действительно экспоненциальное, или близко к нему. Если это не так, то сформированная математическая модель будет неадекватна реальной СМО.
При экспоненциально распределенном ограничении на время ожидания в очереди, процесс изменения числа требований в СМО по-прежнему будет процессом размножения и гибели с той лишь разницей, что интенсивность гибели увеличится за счет, покидающих очередь требований, у которых время ожидания превысило допустимую величину.
Примем, что распределение времени ожидания имеет вид:
F(t) = 1 - e - функция распределения,
f(t) = e - плотность распределения,
где - интенсивность выхода из очереди за счет превышения допустимого времени ожидания.
Тогда параметры процесса К(t) будут равны:
K , при к N + (k - n) , при к>n . Читателю предлагается самостоятельно, руководствуясь материалом раздела 7.2.1,
написать модель рассматриваемой СМО, и формулы для вычисления основных характеристик СМО в стационарном режиме. 7.3.2. Время ожидания ограничено неслучайной величиной τ
В этом случае для описания СМО с помощью марковской модели целесообразно использовать второй из приведенных в 7.1. способов, а именно, расширение понятия состояния. Для того, чтобы прогнозировать распределения состояний в будущем, необходимо знать как давно пришли в систему требования, которые в настоящее время находятся в очереди. Это можно сделать, включив в число обобщенных координат, описывающих состояние СМО, давность прихода каждого ожидающего требования, или, что то же самое, время, которое осталось у него до окончания срока ожидания. В рамках процесса К(t), которым мы пользовались во всех предыдущих задачах, это сделать нельзя, и в рассматриваемом случае модель функционирования СМО строится на основании векторного случайного процесса X ,
характеризующего состояние системы через состояния каждого из n ее каналов: X
= { X (t), X (t),…. X (t)} = {
X (t)} X (t) – это время, которое осталось до освобождения j-ого канала. Таким образом, для каждого момента времени t, мы можем прогнозировать будущие состояния каналов: j-ый канал освободится через х j (t), если за это время не поступят требования из внешнего потока. А так как входящий поток простейший, это значит, что в процессе X
последействие отсутствует, т.е. процесс марковский. Найдем распределение этого процесса. ( 7.3)
Это функция и плотность n-мерного распределения вектора X (t) в случае, когда все каналы заняты. Занятые (и только они) каналы персонифицированы, т.е. перенумерованы. То же, что и выше, но в случае, когда занято лишь «к» каналов, а остальные свободны. ( 7.4)
В дальнейшем, для простоты, будем трактовать плотность f (t; x …x ) как вероятность того, в СМО занято к каналов, которым присвоены номера от 1 до к., опуская при этом формальное умножение на . Знание этих распределений позволит вычислять вероятности состояний рассматриваемой системы. Для вывода необходимых уравнений используем марковское свойство процесса X(t), а именно: будем выражать вероятность состояния процесса в момент t+ t (будущее) через его состояние в момент t (настоящее). Предварительно заметим, что - вероятность того, что в системе нет требований. Для нулевого состояния СМО (в системе нет требований) можем, как и прежде, записать ( 7.5)
Второе слагаемое означает, что в момент t в одном из каналов системы было требование, обслуживание которого заканчивалось на интервале t , и этим каналом мог быть любой из n. Преобразуя и переходя к пределу при t 0, получим: ( 7.6)
Рассмотрим случай, когда 0 ( 7.6)
При составлении этого уравнения учитывалось следующее: · за время t занятости всех каналов уменьшаются на , и если за это время не подойдет ни одного требования входящего потока, то к моменту t система окажется в нужном состоянии (первое слагаемое правой части); · второе слагаемое правой части: в момент t был занят к-1 канал, а канал с номером i (из числа персонифицированных) был пустым, и что бы СМО пришла в нужное состояние необходимо: чтобы пришло требование, чтобы время его обслуживания было равно x , и чтобы из (n-к) свободных каналов оно выбрало именно i-ый, причем этим каналом может быть любой из каналов с номерами от 1 до к. · последнее слагаемое означает, что в момент t был занят (к + 1) канал, но в одном из них (а именно в (к+1)–ом) на интервале обслуживание заканчивалось. Причем таким каналом может быть любой из (n – к). Теперь рассмотрим случай, когда : ( 7.7)
Поясним, как и выше, содержание правой части: · Первое слагаемое отличается от случая к · Второе слагаемое в содержательном плане ничем не отличается от случая к · Третье слагаемое правой части отвечает ситуации, когда все каналы заняты, как это нужно, но один из них «недозанят», например, X (t) = Z < x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов. Вспоминая определение смешанной частной производной: ,( 7.8)
производя группировку членов уравнений, как это делалось выше, и переходя к пределу при , окончательно получим: ( 7.9)
( 7.10)
Эти уравнения относятся к стационарному режиму, что получило свое выражение в том, что производные плотностей распределения по t приняты равными нулю, а сами плотности записаны в финальной форме, как функции не зависящие от времени. Кроме того, для простоты последующих выкладок, приняты следующие обозначения: f = f и f = f . Решение этой системы, т.е. отыскание функций f и f , произведем следующим образом. Вначале, исходя из общих соображений содержательного характера, найдем вид этих функций, после чего подставим их в систему уравнений с целью установить, удовлетворяют они им или нет. Если ответ будет положительным, то решение системы уравнений найдено. Сперва рассмотрим случай 0 . Как говорилось выше, функция f имеет смысл вероятности того, что в СМО занято «к» персонофицированных (перенумерованных) каналов, причем первый освободится через x единиц времени, второй через x , … , к-ый через x . Каналы функционируют независимо, и время обслуживания в каждом распределено экспоненциально. Тогда вероятность рассматриваемого события равна: ( 7.11)
Вероятность того, что занято k перенумерованных каналов P - вероятность того, что в СМО занято k каналов
