Кожинова Анастасия
МУНИЦИПАЛЬНОЕ НЕТИПОВОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЛИЦЕЙ №76»
В ЧЕМ СЕКРЕТ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА?
Выполнила:
Ученица 5 «В» класса
Кожинова Анастасия
Руководитель:
Учитель математики
Щиклина Татьяна
Николаевна
Новокузнецк 2013
Введение………………………………………………………… 3
Основная часть....……………………………………….......... 5-13
Заключение и выводы………………………………............... 13-14
Список литературы……………………………………….................. 15
Приложения……………………………………………………. 16-31
I . Введение
Проблема : нахождение значений числовых выражений
Цель работы: поиск, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.
Задачи:
1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов.
2. Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, в сети Интернет.
3.Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета.
4.Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета.
5. Создать памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.
Объект исследования : рациональный счет.
Предмет исследования : способы рационального счета.
Для эффективности исследовательской работы я использовала следующие методики: анализ информации, полученной из различных ресурсов, синтез, обобщение; соцопрос в форме анкетирования. Анкета была мною разработана в соответствии с целью и задачами исследования, возраста респондентов и представлена в основной части работы.
В ходе исследовательской работы были рассмотрены вопросы, касающиеся способов и приемов рационального счета, и даны рекомендации по устранению проблем с вычислительными навыками, по формированию вычислительной культуры.
II . Основная часть
Формирование вычислительной культуры учащихся
5–6 классов.
Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.
Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.
В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.
Мы, школьники, сталкиваемся с такой проблемой повсеместно: на уроках, в домашних условиях, в магазине и т.п. Кроме этого после 9 и 11 классов нам придется сдавать экзамены в форме ИГА и ЕГЭ, где не допускается использование микрокалькулятора. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у каждого человека вычислительной культуры, элементом которой является овладение приемами рационального счета.
Особенно необходимо освоение приемов рационального счета
в изучении таких предметов, как – математика, история, технология, информатика и т. д., то есть рациональный счет помогает осваивать смежные предметы, лучше ориентироваться в изучаемом материале, в жизненных ситуациях. Так чего же мы ждем? Отправляемся в мир тайн Рациональных приемов счета!!!
Какие проблемы возникают у обучающихся при выполнении вычислений?
Часто у сверстников моего возраста возникают проблемы при выполнении различных заданий, в которых надо произвести вычисления быстро и удобным способом. Почему???
Вот некоторые предположения:
1. Учащийся плохо усвоил тему изученную тему
2. Учащийся не повторяет материал
3. Учащийся имеет плохие навыки счета
4. Учащийся не хочет изучать данную тему
5. Учащийся считает, что ему это не пригодится.
Все эти предположения я взяла из своего опыта и опыта моих одноклассников и сверстников. Однако в упражнениях вычислительного характера важную роль играют навыки рационального счета, поэтому я изучила, применяю и хочу представить Вам некоторые приемы рационального счета.
Рациональные методы устных и письменных вычислений.
В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память. Применение рациональных методов вычислений необходимо для повышения труда, точности и быстроты подсчетов. Быстрота и точность вычислений могут быть достигнуты только при рациональном использовании методов и средств механизации вычислений, а также при правильном использовании способов устного счета.
I . Приемы упрощенного сложения чисел
Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.
Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.
Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.
Решение. Расчет произведем в такой последовательности:
5 287 + 3 000 = 8 287;
8 287 + 500 = 8 787;
8 787 + 60 = 8 847;
8 847 + 4 = 8 851.
Ответ: 8 851. (сочетально-переместительный закон)
Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.
Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим:
5 000 + 3 000 = 8 000;
200 + 500 = 700;
Ответ: 8851.
Способ круглого числа . Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.
Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.
Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.
Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431. (сочетательный закон)
Способ группировки слагаемых . Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.
Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.
Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.
(сочетательно-переместительный закон)
или, когда при группировке чисел получаются одинаковые суммы:
Пример:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101х50=5050
(сочетательно-переместительный закон)
II . Приемы упрощенного вычитания чисел
Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.
Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.
Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:
представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398;
выполним поразрядное вычитание:
721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.
Способ круглого числа . Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.
Пример . Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.
Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.
III . Приемы упрощенного умножения чисел
Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.
Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.
Решение. 568 x 100 = 56 800.
Способ последовательного поразрядного умножения . Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале однозначныймножитель умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.
Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.
Решение. 39 x 7 = (30+9) х 7 =(30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (распределительный закон умножения относительно сложения)
Способ круглого числа . Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.
Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.
174 x 69 =174 х (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (распределительный закон умножения относительно вычитания)
Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.
Пример . Найдем произведение чисел 13 и 325.
Разложим число 13 на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975. Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225
Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми приведенными арифметическими действиями. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность. Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, классы и разряды.
Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.
- Умножение двузначного числа на 11.
Мы изучали этот метод, но мы не изучили его до конца секрет этого метода в том, что его можно посчитать законами арифметических действий.
Примеры:
23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения)
23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа)
Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.
Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр.
а) 23 11=253, т. к. 2+3=5;
б) 45 11=495, т. к. 4+5=9;
в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен;
г) 78 11=858, т. к. 7+8=15, то число десятков будет равно 5, а цифра сотен увеличится на единицу и будет равна 8.
Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.
2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д.
Правило : цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц.
а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621.
б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.
в) 52 58=3016, т. к. цифру десятков 5 умножаем на 6, будет 30, приписываем произведение 2 и 8, т. е 16.
г) 61 69=4209. Понятно, что 6 умножили на 7 и получили 42. А откуда нуль? Единицы перемножили и получили: 1 9=9, но результат должен быть двузначным, поэтому берем 09.
3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа).
Примеры: а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6; б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9.
в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21.
г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24.
Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.
III . Заключение
Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять, в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого,
искать новые способы это:
- Приемы упрощенного сложения чисел : (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые);
-Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа);
-Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей;
- Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.
IV. Список литературы
- Савин А. П. Математические миниатюры / А. П.Савин. – М.: Детская литература, 1991
2. Зубарева И.И., Математика,5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2011
4. http:/ / www. xreferat.ru
5. http:/ / www. biografia.ru
6. http:/ / www. Mathematics-repetition. ru
V . Приложения
Мини исследование (опрос в форме анкетирования)
Для выявлений знаний учащихся о рациональном счете, мною был проведен опрос в форме анкетирования по следующим вопросам:
* Знаешь ли ты что такое рациональные приемы счета?
* Если да, то откуда, а если нет, то почему?
* Сколько способов рационального счета ты знаешь?
* Возникают ли у тебя трудности в устном счете?
* Как ты учишься по математике? а) на «5»; б) на «4»; в) на «3»
* Что тебе больше всего нравится по математике?
а) примеры; б) задачи; в) дроби
* Как ты думаешь, где может пригодиться устный счет, кроме математики? *Помнишь ли ты законы арифметических действий, если да то какие?
Проведя соцопрос, я поняла, что мои одноклассники недостаточно знают законы арифметических действий, у большинства из них есть проблемы с рациональным счетом, многие ученики считают медленно и с ошибками и все хотят научиться считать быстро, верно и удобным способом. Поэтому тема моей исследовательской работы крайне важна для всех учащихся и не только.
1. Интересные устные и письменные способы вычислений, которые мы изучили на уроках математики, на примерах учебника «математика, 5 класс»:
Вот некоторые из них:
чтобы быстро умножить число на 5 , достаточно заметить, что 5=10:2.
Например, 43x5=(43х10):2=430:2=215;
48х5=(48:2)х10=24х10=240.
Чтобы число умножить на 50 , можно умножить его на 100 и разделить на 2.
Например: 122х50=(122х100):2=12200:2=6100
Чтобы число умножить на 25 , можно умножить его на 100 и разделить на 4,
Например, 32х25=(32 х 100):4=3200:4=800
Чтобы число умножить на 125 , можно умножить его на 1000 и разделить на 8 ,
Например: 192х125=(192х1000):8=192000:8=24000
Чтобы круглое число, в конце которого два 0, разделить на 25 , можно разделить его на 100 и умножить на 4.
Например: 2400:25=(2400:100) х 4=24 х 4=96
Чтобы круглое число разделить на 50 , можно разделить на 100 и умножить на 2
Например: 4500:50=(4500:100) х 2 =45 х 2 =90
Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, состав числа (классы и разряды) и иметь навыки их применения
Законы арифметических действий.
a + b = b + a
Переместительный закон сложения
(a + b ) + c = a + (b + c )
Сочетательный закон сложения
a · b = b · a
Переместительный закон умножения
(a · b ) · c = a · (b · c )
Сочетательный закон умножения
(a = b ) · c = a · c = b · c
Распределительный закон умножения (относительно сложения)
Таблица умножения.
Что такое умножение?
Это умное сложение.
Ведь умней умножить раз,
Чем слагать все целый час.
Умножения таблица
Всем нам в жизни пригодиться.
И недаром названа
УМНОжением она!
Разряды и классы
Для того чтобы было удобно читать, а так же запоминать числа с большими значениями их следует разбивать на так называемые «классы»: начиная справа, число разделяют пробелом на три цифры «первый класс», затем еще выбирают три цифры, «второй класс» и так далее. В зависимости от значения числа, последний класс может оканчиваться как тремя, так и двумя или одной цифрой.
Например, число 35461298 записывается следующим образом:
Это число разбито на классы:
482 – первый класс (класс единиц)
630 – второй класс (класс тысяч)
35 – третий класс (класс миллионов)
Разряд
Каждая из цифр, входящая в состав класса, называется его разрядом, отсчёт которых также идет справа.
Например, число 35 630 482 можно разложить на классы и разряды:
482 – первый класс
2 – первый разряд (разряд единиц)
8 – второй разряд (разряд десятков)
4 – третий разряд (разряд сотен)
630 – второй класс
0 – первый разряд (разряд единиц тысяч)
3 – второй разряд (разряд десятков тысяч)
6 – третий разряд (разряд сотен тысяч)
35 – третий класс
5 – первый разряд (разряд единиц миллионов)
3 – второй разряд (разряд десятков миллионов)
Число 35 630 482 читается:
Тридцать пять миллионов шестьсот тридцать тысяч четыреста восемьдесят два.
Проблемы с рациональным счетом и как их устранить
Рациональные приемы запоминания.
В результате анкетирования и наблюдений с уроков я заметила, что часть учеников плохо решают различные задачи и упражнения потому, что не знакомы с рациональными приемами вычислений.
1. Один из приемов - приведение изучаемого материала в систему, удобную для запоминания и сохранения в памяти.
2. Чтобы запоминаемый материал хранился памятью в определенной системе, надо провести некоторую работу над его содержанием.
3. Затем можно заняться усвоением каждой отдельной части текста, перечитывая ее и стараясь тут же воспроизводить (повторять про себя или вслух) прочитанное.
4. Огромное значение для запоминания имеет повторение материала. Об этом говорит и народная пословица: «Повторение - мать учения». Но и повторять надо разумно и правильно.
Работу по повторению надо оживлять, привлекая иллюстрации или примеры, которых раньше не было или они уже оказались забыты.
На основе сказанного можно кратко сформулировать следующие рекомендации для успешного усвоения учебного материала:
1. Поставить задачу, быстро и прочно запомнить учебный материал на длительное время.
2. Сосредоточить внимание на том, что надо усвоить.
3. Хорошо понять учебный материал.
4. Составить план запоминаемого текста, выделив в нем основные мысли, разбить текст на части.
5. Если материал большой, последовательно усваивать одну часть за другой, а затем уже излагать все в целом.
6. После прочтения материала надо его воспроизводить (рассказывать прочитанное).
7. Повторять материал, пока он еще не забыт.
8. Распределять повторение на более продолжительное время.
9. Использовать при запоминании разные виды памяти (прежде всего смысловую) и некоторые индивидуальные особенности своей памяти (зрительную, слуховую или двигательную).
10. Трудный материал следует повторять перед сном, а затем утром, «на свежую память».
11. Стараться применять полученные знания на деле. Это лучший способ их сохранения в памяти (недаром говорят: «Настоящая мать учения не повторение, а применение»).
12. Надо больше приобретать знаний, узнавать, что то новое.
Теперь вы узнали как нужно быстро и правильно запоминать изученный материал.
Интересный прием умножениянекоторых чисел на 9в сочетании со сложениемпоследовательных натуральных чисел от 2 до 10
12345х9+6=111111
123456х9+7=1111111
1234567х9+8=11111111
12345678х9+9=111111111
123456789х9+10=1111111111
Интересная игра «Угадай число»
Вы играли в игру «Угадай число»? Это очень простая игра. Скажем, я загадываю натуральное число, меньшее 100, записываю его на бумаге (чтобы не было возможности сжульничать), а вы попытаетесь его отгадать, задавая вопросы, на которые можно лишь отвечать «да» или «нет». Потом вы загадываете число, а я пытаюсь его отгадать. Кто угадает за меньшее число вопросов тот выиграл.
Сколько вопросов вам понадобится, чтобы угадать мое число? Не знаете? Я берусь угадать ваше число, задав всего семь вопросов. Как? А вот, например, как. Пусть вы загадали число. Я спрашиваю: «Оно меньше, чем 64?» - «Да». – «Меньше, чем 32?» - «Да». – «Меньше, чем 16?» - «Да». – «Меньше, чем 8?» - «Нет». – «Меньше, чем 12?» - «Нет». – «Меньше, чем 14?» - «Да». – «Меньше, чем 13?» - «Нет». – «Задумано число 13».
Понятно? Я делю набор возможных чисел пополам, потом оставшуюся половину снова пополам и так далее, пока в оставшейся части не окажется одно число.
Если тебе понравилась игра или наоборот ты хочешь большего, то зайди в библиотеку и возьми книгу «А. П.Савин (Математические миниатюры). В этой книге ты найдешь много интересного и увлекательного. Изображение книги:
Спасибо всем за внимание
И желаю успехов!!!
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
В чем секрет рационального счета?
Цель работы: поиск информации, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.
задачи: 1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов. 2.Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, а также в сети Интернет. 3. Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета. 4. Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета. 5. Создать Памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.
Как я уже сказала тема рационального счета актуальна не только ученикам, но и для каждого человека, чтобы в этом убедиться я провела соцопрос среди учеников 5 класса. Вопросы и ответы анкетирования Вам представлены в приложение.
Что такое рациональный счет? Рациональный счет – это удобный счет (слово рациональный – означает удобный, правильный)
Почему возникают трудности у учеников???
Вот некоторые предположения: Учащийся: 1. плохо усвоил изученную тему; 2. не повторяет материал; 3. имеет плохие навыки счета; 4 . считает, что ему это не пригодится.
Рациональные методы устных и письменных вычислений. В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память.
Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты. I. Приемы упрощенного сложения чисел
Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого. Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя этот способ. Решение. Расчет произведем в такой последовательности: 5 287 + 3 000 = 8 287; 8 287 + 500 = 8 787; 8 787 + 60 = 8 847; 8 847 + 4 = 8 851 . Ответ: 8 851.
Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д. Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Ответ: 8851.
Способ круглого числа. Число, оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000 . Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения. Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа. Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431.
Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой. Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26. Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.
Способ сложения основанный на группировке слагаемых. Пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101х50=5050.
II. Приемы упрощенного вычитания чисел
Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить. Пример. Найдем разность чисел 721 и 398 . Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности: представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398; выполним поразрядное вычитание:721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.
Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение. Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа. Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.
III. Приемы упрощенного умножения чисел
Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы. Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100. Решение. 568 x 100 = 56 800.
Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7 . Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.
Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе. Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69 . Решение. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.
Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325 . Решение. Разложим число на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225.
Секреты быстрого устного счета. Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.
Умножение двузначного числа на 11 .
Примеры: 23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения) 23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа) Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.
Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр. Примеры. а) 23 11=253, т. к. 2+3=5; б) 45 11=495, т. к. 4+5=9; в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен; Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.
2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д. Правило: цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц. Примеры. а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621 . б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.
3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа). Примеры. а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6 . б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9 . в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21 . г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24 . Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.
Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми приведенными арифметическими действиями. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность.
Заключение Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять,в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, знать таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого, искать новые способы это:
Приемы упрощенного сложения чисел: (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые); - Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа); - Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей; - Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.
В заключение хочу закончить свое выступление такими словами:
Спасибо всем за внимание, желаю успехов!!!
Смотрим в словаре, что же такое рациональное решение – это: 1) продуманное, взвешенное решение, принятое на основе сравнения вариантов и их выбора, а также учета еще многих факторов; 2) выгодное, целесообразное решение.
Иногда на уроках при решении заданий учеником выясняется, что он вообще не знает, что такое рациональное решение . Оказывается, что такое решение связано с недостаточными познаниями ученика.
Задача.
Однажды на уроке математики учитель показал ребятам куб и предложил найти площадь поверхности этого куба.
— Это элементарно, — поднял первым руку Петя Самохвалов. – Сначала измеряем два ребра, исходящие из одной вершины. Первое ребро равно 10 см, и второе ребро равно 10 см. Найдем площадь этой грани: 10 х 10 = 100 (см 2). Теперь измерим другие два ребра. Первое равно 10 см, и второе равно 10 см. Перемножим их, будет 100 см 2 . Это площадь второй грани…
Потом Петя точно также нашел площадь четырех оставшихся граней. Все они оказались равными 100 см 2 .
— Теперь, продолжал Петя, сложим все найденные площади, будет 600 см 2 . Это и есть площадь поверхности куба.
Как же Петя был удивлен, когда учитель не поставил ему пятерку. Как вы думаете почему?
Иногда не находя выгодное, рациональное решение ученик заходит в такие дебри, что уже и сам запутывается.
Был такой случай на уроке математики
:
Ученик решал задачу
у доски. При не правильно выбранном, не рациональном решении он уже исписал почти всю доску. Учитель очень серьезно двух ребят посильнее и покрепче, попросила из соседнего свободного на данный момент класса принести еще одну доску. Не сознавая подвоха, ребята встали и пошли к выходу. Когда они дошли уже до двери, учитель сказала:
— Возможно нужно будет принести и две доски… Ученику, решающему задачу
у доски места катастрофически не хватает…
Вот тут-то все всё и поняли. Посмеялись от души.
И еще одна задача:
Двое шли — рубль нашли.
Четверо пойдут — сколько найдут?
В далеком прошлом, когда еще не была придумана система исчисления, люди подсчитывали все на пальцах. С появлением арифметики и основ математики стало гораздо проще и практичнее вести учет товаров, продуктов, а также бытовых предметов. Однако как выглядит современная система исчисления: на какие виды делятся существующие числа и что значит "рациональный вид чисел"? Давайте разберемся.
Сколько разновидностей чисел существует в математике?
Само понятие "число" обозначает некую единицу любого предмета, которая характеризует его количественные, сравнительные или порядковые показатели. Для того чтобы правильно подсчитать количество определенных вещей или провести некие математические операции с числами (сложить, умножить и др.), в первую очередь следует ознакомиться с разновидностями этих самых чисел.
Итак, существующие числа можно разделить по следующим категориям:
- Натуральные - это те числа, которыми мы подсчитываем количество предметов (самое меньшее натуральное число равно 1, логично, что ряд натуральных чисел бесконечен, т. е. не существует наибольшего натурального числа). Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N.
- Целые числа. К этому множеству относятся все при этом в него добавляются и отрицательные значения, включая число "ноль". Обозначение множества целых чисел записывают в виде латинской буквы Z.
- Рациональные числа - это те, которые мы мысленно можем преобразовать в дробь, числитель которой будет принадлежать множеству целых чисел, а знаменатель - натуральных. Чуть ниже мы разберем подробнее, что значит "рациональное число", и приведем несколько примеров.
- - множество, в которое входят все рациональные и Обозначается данное множество буквой R.
- Комплексные числа содержат в себе часть действительного и часть переменного числа. Используются в решении различных кубических уравнений, которые, в свою очередь, могут иметь в формулах под отрицательное выражение (i 2 = -1).
Что значит "рациональный": разбираем на примерах
Если рациональными считаются те числа, которые мы можем представить в виде обыкновенной дроби, то получается, что все положительные и отрицательные целые числа также входят в множество рациональных. Ведь любое целое число, например 3 или 15, можно представить в виде дроби, где в знаменателе будет единица.
Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 - вот примеры рациональных чисел.
Что значит "рациональное выражение"?
Идем дальше. Мы уже разобрали, что значит рациональный вид чисел. Давайте теперь представим себе математическое выражение, которое состоит из суммы, разности, произведения или частного различных чисел и переменных. Вот пример: дробь, в числителе которой сумма двух или нескольких целых чисел, а знаменатель содержит в себе как целое число, так и некую переменную. Именно такое выражение и называют рациональным. Исходя из правила "на ноль делить нельзя" можно догадаться, что значение данной переменной не может быть таковым, чтобы значение знаменателя обращалось в ноль. Поэтому при решении рационального выражения следует сначала определить область значения переменной. Например, если в знаменателе следующее выражение: x+5-2, то получается, что "x" не может быть равен -3. Ведь в таком случает все выражение превращается в ноль, поэтому при решении необходимо исключить целое число -3 для данной переменной.
Как правильно решать рациональные уравнения?
Рациональные выражения могут содержать в себе довольно-таки большое количество чисел и даже 2 переменные, поэтому порой их решение становится затруднительным. Для облегчения решения такого выражения рекомендуется произвести некие операции рациональным путем. Итак, что значит "рациональным способом" и какие правила необходимо применять при решении?
- Первый вид, когда достаточно всего лишь упростить выражение. Для этого можно прибегнуть к операции сокращения числителя и знаменателя до несокращаемой величины. Например, если в числителе имеется выражение 18x, а в знаменателе 9х, то, сокращая оба показателя на 9x, получаем просто целое число, равное 2.
- Второй способ практичен тогда, когда в числителе имеем одночлен, а в знаменателе - многочлен. Разберем на примере: в числителе имеем 5x, а в знаменателе - 5x + 20x 2 . В таком случае лучше всего вынести переменную в знаменателе за скобки, получим следующий вид знаменателя: 5x(1+4x). А теперь можно воспользоваться первым правилом и упростить выражение, сократив 5x в числителе и в знаменателе. В итоге получим дробь вида 1/1+4x.
Какие действия можно выполнять с рациональными числами?
Множество рациональных чисел имеет ряд своих особенностей. Многие из них весьма схожи с характеристикой, присутствующей у целых и натуральных чисел, ввиду того что последние всегда входят в множество рациональных. Вот несколько свойств рациональных чисел, зная которые, можно с легкостью решить любое рациональное выражение.
- Свойство коммутативности позволяет суммировать два или несколько чисел, вне зависимости от их очередности. Проще говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
- Свойство дистрибутивности позволяет решать задачи с помощью распределительного закона.
- И, наконец, операции сложения и вычитания.
Даже школьники знают, что значит "рациональный вид чисел" и каким образом решать задачи на основе таких выражений, поэтому взрослому образованному человеку просто необходимо вспомнить хотя бы азы множества рациональных чисел.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Проиллюстрируем поиск эффективных методов решения на некоторых фактах из школьной практики.
В одном из четвертых классов был предложен для решения следующий пример: 3 x 2 x 7 x 2 x 5 x 5; при этом учеников предупредили, что необходимо найти наиболее быстрый путь решения.
Ученики использовали шесть различных путей группировки чисел (5 x 5 = 25, 25 x 2 = 50, 50 x 2 = 100, 100 x 3 = 300, 300 x 7 = 2100 и др.), но наиболее рационального все же не нашли. Тогда учительница показала наиболее рациональную группировку: (2 x 5) x (2 x 5) = 100; 3 x 7 = 21; 21 x 100 = 2100.
Так формировалась у школьников при решении примеров привычка искать наиболее рациональные пути решения.
Такую привычку нужно вырабатывать у школьников на разном учебном материале планомерно и систематически, учитывая, что сама она не сформируется. Больше того, у младших школьников довольно часто проявляется обратная тенденция — идти по линии наименьшего сопротивления, не задумываясь давать первый, пришедший в голову ответ, использовать только наиболее привычный путь.
Такая тенденция ярко проявилась в следующем факте: ученикам двух четвертых классов был предложен пример с именованными числами. «Делимое — 1 сутки, делитель — 60 минут, найти частное».
Оказалось, что все ученики, кроме одного, решили этот пример так: раздробили 1 сутки в часы, затем раздробили 24 часа в минуты и, получив 1440 минут, разделили их на 60 (минут). Рациональный путь в решении примера , использованный только одним учеником, заключался в следующем: он раздробил сутки в часы, а данные 60 минут превратил также в часы, это дало ему возможность избежать громоздких вычислений, ответ был им получен делением 24 часов на 1 час. Этот ученик сумел преодолеть тенденцию повторять одну и ту же операцию раздробления и применил две противоположные операции.
Большую пользу для формирования привычки выбирать наиболее рациональный путь приносит решение арифметических задач. И не всегда для этой цели нужно использовать особо трудные «замысловатые» задачи, можно и на несложных задачах приучить детей размышлять над условием, анализировать его, тем самым освобождать многих детей от вредной привычки считать в задаче самым главным вычисления и спешить поэтому с получением числового ответа.
Так, ценное упражнение этого типа представляет задача: «В двух ящиках было 60 кг винограда; из одного ящика переложили в другой 16 кг. Сколько килограммов винограда стало в обоих ящиках?» Смысл подобных задач в том, чтобы приучить учеников воздерживаться от поспешного числового решения.
Как показало одно из исследований, многие школьники III и IV классов успешно справлялись с этой задачей. После внимательного ознакомления с условием они, не производя никаких вычислений, говорили: «Так и будет 60 кг», «Не изменится».
Однако немало школьников становились на неразумный путь, они производили вычисления (60—16 = 44, 44 + 16 = 60), даже не замечая того, что получили в результате те же исходные 60 кг.
Итак, воспитание у школьников в процессе обучения творческих поисков, формирование у них привычки размышлять — задача, без решения которой нельзя научить детей эффективным приемам самостоятельной работы.
Далее, необходимо у детей формировать шаг за шагом специальные умения, следя за тем, чтобы они научились правильно организовывать свою деятельность, умели бы направлять свои психические процессы: восприятие, память, мышление.
Очень важно научить детей подчинять свое восприятие поставленной задаче. Так, например, если в учебнике к арифметической задаче даны рисунок или схема, ученик должен уметь использовать их по назначению и видеть в них то, что может помочь ему решить данную задачу: в одних случаях увидеть в рисунке иллюстрацию, которая поясняет, о каких предметах идет речь в задаче, в других же — направить восприятие к иной цели, а именно на то, чтобы обнаружить в схеме те основные соотношения, которые даны в условии. Подход к этим двум видам графики должен быть у школьников различен: в одним случае они рассматривают иллюстрацию на первом этапе ознакомления с условием задачи, а в ходе ее решения уже не обращают на нее никакого внимания, во втором, наоборот, они ее используют в процессе самого решения.
Такое умение избирательно воспринимать иллюстрации вполне возможно сформировать у младших школьников.
Аналогично этому ученики должны уметь правильно использовать свою память. Широко распространен взгляд, что у детей младшего школьного возраста память механическая преобладает над памятью логической, смысловой, то есть дети запоминают, не стремясь осмыслить материал, установить между описываемыми фактами связь, выделить наиболее существенное и т. п.
Этот взгляд, как показывают работы многих психологов, не совсем верен. Преобладание механической памяти действительно имеется, но только при определенных условиях: если учителя начальных классов не работают над формированием у детей рациональных приемов запоминания. Но если такая работа ведется, младших школьников можно приучить осмысливать запоминаемый материал, в частности, приучить их обращать внимание в учебнике на те правила и определения, которые выделены жирным шрифтом, научить их (и это очень важно) контролировать себя при подготовке к уроку, для чего воспроизводить, то есть говорить себе самому (после прочтения в учебнике), то правило или то определение, которое нужно усвоить, приучить их к тому, чтобы не ограничиваться примерами, приведенными в учебнике, а обязательно придумывать свои и т. п.
Основная цель при формировании мышления — научить школьников самостоятельно решать относительно новые задачи , то есть такие, которые требуют активных поисков путей решения.
Существуют определенные правила, способствующие успеху этих поисков. Нетрудно заметить, что этими правилами прежде всего предусматривается выработка у школьников, приемов полного целенаправленного анализа.
Теперь возникает главный вопрос: какими путями школьники могут овладеть приемами рационального мышления?
Овладение этими приемами означает знание учеником того, как надо действовать, а это знание предполагает знание правила, в соответствии с которым применяется тот или иной способ. Совершенно ясно, однако, что учитель ничего не смог бы достичь, если бы он сообщал детям только готовые правила.
Сначала дети должны действовать в соответствии с этими правилами в процессе самостоятельного решения ими задач.
При этом учитель использует опыт детей в решении ими задач для того, чтобы раскрыть перед ними значение того или иного приема. Начать это делать необходимо уже с первого года обучения. Сначала учитель, а затем и сами дети формулируют значение используемого ими приема и контролируют его применение.
Это можно проиллюстрировать на примере, как первоклассники овладевают приемами правильного чтения текста задачи. Учитель вначале обращает внимание детей на важность умения прочитать текст задачи для ее успешного решения, указывает им на конкретные случаи, когда ошибки при чтении текста порождали трудности в решении задачи. Затем дети сами следят, как читают текст их товарищи по классу, и делают необходимые критические замечания: «слово «на» плохо прочла», «слово «меньше» не выделила», «плохо выделила числа» и т. п.
В этом случае не только формируются приемы анализа задачи, но также вырабатывается привычка контролировать себя и других, а это последнее является необходимой составной частью всякого умения.
