Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

Пояснение.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

x max = 3, x max = 8.

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .

Критические и стационарные точки функции:

Необходимое условие экстремума:

Достаточное условие экстремума:

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:

§ 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 369

видно, что, вообще говоря, имеется две окружности рассматриваемого семейства, касающиеся прямой l: их центры расположены по разные стороны отрезка P Q. Одна из точек касания дает абсолютный максимум величины j, тогда как другая - лишь «относительный» максимум: это значит, что значения j в этой точке больше, чем значения в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Больший из двух максимумов - абсолютный максимум - дается той точкой касания, которая расположена в остром угле, образованном прямой l и продолжением отрезка P Q, а меньший - той точкой касания, которая расположена в тупом угле, образованном этими прямыми. (Точка пересечения прямой l с продолжением отрезка P Q дает минимальное значение угла j, именно j = 0.)

Рис. 190. Из какой точки l отрезок P Q виден под наибольшим углом?

Обобщая рассмотренную задачу, мы можем заменить прямую l какой-нибудь кривой C и искать точки R на кривой C, из которых данный отрезок P Q, не пересекающий C, виден под наибольшим или наименьшим углом. В этой задаче, как и в предыдущей, окружность, проходящая через P , Q и R, должна в точке R касаться кривой C.

§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление

1. Экстремальные и стационарные точки. В предшествующих рассуждениях мы совсем не пользовались техническими приемами дифференциального исчисления.

Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных

особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль. Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых проблем и применяемых методов.

В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной f0 (x) от функции f(x) и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная f0 (x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (x, y). Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой y = f(x) касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен равняться нулю. Таким образом, мы получаем для точек экстремума условие f0 (x) = 0.

Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной f0 (x), рассмотрим кривую, изображенную на рис.191 . Мы видим здесь пять точек A, B, C, D, E, в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения f(x) в этих точках через a, b, c, d, e. Наибольшее значение f(x) (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке D, наименьшее - в точке A. В точке B имеется максимум - в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки B значение f(x) меньше, чем b, хотя в точках, близких к D, значение f(x) все же больше, чем b. По этой причине принято говорить, что в точке B имеется относительный максимум функции f(x), тогда как в точке D - абсолютный максимум. Точно так же в точке C имеет место относительный минимум, а в точке A - абсолютный минимум. Наконец, что касается точки E, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство f0 (x) = 0. Отсюда следует, что обращение в нуль производной f0 (x) есть необходимое, но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции f(x); другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство f0 (x) = 0, но не во всякой точке, где f0 (x) = 0, обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная f0 (x) обращается в нуль, - независимо от того, имеется ли в них экстремум, - называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее

§ 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 371

сложным условиям, касающимся высших производных функции f(x) и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.

Рис. 191. Стационарные точки функции

2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. Существуют экстремальные проблемы, которые не могут быть выражены с помощью понятия функции f(x) от одной переменной. Простейшим относящимся сюда примером является проблема нахождения экстремумов функции z = f(x, y) от двух независимых переменных.

Мы всегда можем представлять себе функцию f(x, y) как высоту z поверхности над плоскостью x, y, и эту картину будем интерпретировать, скажем, как горный ландшафт. Максимум функции f(x, y) соответствует горной вершине, минимум - дну ямы или озера. В обоих случаях, если только поверхность гладкая, касательная плоскость к поверхности обязательно горизонтальна. Но, помимо вершин гор и самых низких точек в ямах, могут существовать и иные точки, в которых касательная плоскость горизонтальна: это «седловые» точки, соответствующие горным перевалам. Исследуем их более внимательно. Предположим (рис. 192), что имеются две вершины A и B в горном хребте и две точки C и D на различных склонах хребта; предположим, что из C нам нужно пройти в D. Рассмотрим сначала те пути, ведущие из C в D, которые получаются при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через C и D. Каждый такой путь имеет самую высокую точку. При изменении положения секущей плоскости меняется и путь, и можно будет найти такой путь, для которого наивысшая точка будет в

самом низком из возможных положений. Наивысшей точкой E на этом пути является точка горного перевала в нашем ландшафте; ее можно назвать также седловой точкой. Ясно, что в точке E нет ни максимума, ни минимума, так как сколь угодно близко к E существуют на поверхности такие точки, которые выше E, и такие, которые ниже E. Можно было бы в предыдущем рассуждении и не ограничиваться рассмотрением только тех путей, которые возникают при пересечении поверхности плоскостями, а рассматривать какие угодно пути, соединяющие C и D. Характеристика, данная нами точке E, от этого бы не изменилась.

Точно так же, если бы мы пожелали от вершины A пройти к вершине B, то всякий путь, который мы могли бы выбрать, имел бы самую низкую точку; рассматривая хотя бы только плоские сечения, мы нашли бы такой путь AB, для которого наименьшая точка была бы расположена наиболее высоко, причем получилась бы опять прежняя точка E. Таким образом, эта седловая точка E обладает свойством доставлять самый высокий минимум или самый низкий максимум: здесь имеет место «максиминимум» или «минимаксимум» - сокращенно минимакс. Касательная плоскость в точке E горизонтальна; действительно, так как E - наинизшая точка пути AB, то касательная к AB в E горизонтальна, и аналогично, так как E - наивысшая точка пути CD, то и касательная к CD в E горизонтальна. Поэтому касательная плоскость, обязательно проходящая через эти две касательные прямые, горизонтальна. Итак, мы обнаруживаем три различных типа точек с горизонтальными касательными плоскостями: точки максимума, точки минимума и, наконец, седловые точки; соответственно существует и три различных типа стационарных значений функции.

Другой способ представлять геометрически функцию f(x, y) заключается в вычерчивании линий уровня - тех самых, которые употребляются в картографии для обозначения высот на местности (см. стр. 308 ). Линией уровня называется такая кривая в плоскости x, y, вдоль которой функция f(x, y) имеет одно и то же значение; другими словами, линии уровня - то же, что и кривые семейства f(x, y) = c. Через обыкновенную

Рис. 194. Стаци онарные точки в двусвязной области

§ 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 373

точку плоскости проходит в точности одна линия уровня; точки максимума и минимума бывают окружены замкнутыми линиями уровня, в седловых точках пересекаются две (или более) линии уровня. На рис. 193 проведены линии уровня, соответствующие ландшафту, изображенному на рис. 192.

При этом особенно наглядным становится замечательное свойство седловой точки E: всякий путь, связывающий A и B и не проходящий через E, частично лежит в области, где f(x, y) < f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Точки минимакса и топология. Существует глубокая связь между общей теорией стационарных точек и топологическими идеями. По этому поводу мы можем здесь дать только краткое указание и ограничимся рассмотрением одного примера.

Рассмотрим горный ландшафт на кольцеобразном острове B с двумя береговыми контурами C и C0 ; если обозначим, как раньше, высоту над уровнем моря через u = f(x, y), причем допустим, что f(x, y) = 0 на контурах C и C0 и f(x, y) > 0

внутри, то на острове должен существовать по меньшей мере один горный перевал: на рис. 194 такой перевал находится в точке, где пересекаются две линии уровня. Справедливость высказанного утверждения становится наглядной, ес-

ли мы поставим своей задачей найти такой путь, соединяю-

щий C и C0 , который не поднимался бы на б´ольшую высоту, чем это неизбежно. Каждый путь от C к C0 имеет наивыс-

шую точку, и если мы выберем такой путь, для которого наивысшая точка оказывается самой низкой, то полученная таким образом наивысшая точка и будет седловой точкой функции u = f(x, y). (Следует оговорить представляющий исключение тривиальный случай, когда некоторая горизонтальная плоскость касается кольцеобразного горного хребта по замкнутой кривой.) В случае области, ограниченной p замкнутыми кривыми, вообще говоря, должно существовать не менее чем p − 1 точек минимакса. Подобного же рода соотношения, как установил Марстон Морc, имеют место и для многомерных областей,

но разнообразие топологических возможностей и типов стационарных точек в этом случае значительно большее. Эти соотношения образуют основу современной теории стационарных точек.

4. Расстояние точки от поверхности. Для расстояний точки P

от различных точек замкнутой кривой существуют (по меньшей мере) два стационарных значения: минимальное и максимальное. При переходе к трем измерениям не обнаруживается никаких новых фактов, если мы ограничимся рассмотрением такой поверхности C, которая топологически эквивалентна сфере (как, например, эллипсоид). Но если поверхность рода 1 или более высокого, то дело обстоит иначе. Рассмотрим поверхность тора C. Какова бы ни была точка P , всегда, конечно, существуют на торе C точки, дающие наибольшее и наименьшее расстояние от P , причем соответствующие отрезки перпендикулярны к самой поверхности. Но мы сейчас установим, что в этом случае существуют и точки минимакса. Вообразим на торе один из «меридианных» кругов L (рис. 195) и на этом круге L найдем точку Q, ближайшую к P . Затем, перемещая круг L по тору, найдем такое его положение, чтобы расстояние P Q стало: а) минимальным - тогда получается точка на C, ближайшая к P ; б) максимальным - тогда получится стационарная точка минимакса. Таким же образом мы могли бы найти на L точку, наиболее удаленную от P , и затем искать положение L, при котором найденное наибольшее расстояние было бы: в) максимальным (получится точка на C, наиболее удаленная от P), г) минимальным. Итак, мы получим четыре различных стационарных значения для расстояния точки тора C от точки P .

Рис. 195–196. Расстояние от точки до поверхности

Упражнение. Повторите то же рассуждение для иного типа L0 замкнутой кривой на C, которая также не может быть стянута в точку (рис. 196).

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум . На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох .

Такие точки называют стационарными . Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+» , то функция принимает локальный минимум . Если с «+» на «-» должны локальный максимум .

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках


Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1)
2)
3)
4)
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

В предшествующих рассуждениях мы совсем не пользовались техническими приемами дифференциального исчисления.

Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль. Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых, проблем и применяемых методов.

В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной f"(x) от функции f(x) и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная f"(x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (х, y). Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой y = f(x) касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен равняться нулю. Таким образом мы получаем для точек экстремума условие f"(x) = 0 .

Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной f"(x), рассмотрим кривую, изображенную на рис. 191. Мы видим здесь пять точек А, В, С, D, ?, в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения f(x) в этих точках через а, b, с, d, е. Наибольшее значение f(x) (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке D, наименьшее - в точке A. В точке В имеется максимум - в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки В значение f(x) меньше, чем b, хотя в точках, близких к D, значение f(x) все же больше, чем b. По этой причине принято говорить, что в точке В имеется относительный максимум функции f(x), тогда как в точке D - абсолютный максимум. Точно так же в точке С имеет место относительный минимум, а в точке А - абсолютный минимум. Наконец, что касается точки Е, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство f"(x) = Q , Отсюда следует, что обращение в нуль производной f"(x) есть необходимое , но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции f(x); другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство f"(x) = 0 , но не во всякой точке, где f"(x) = 0 , обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная f"(x) обращается в нуль, независимо от того, имеется ли в них экстремум, называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее сложным условиям, касающимся высших производных функции f(x) и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Первое достаточное условие локального экстремума

Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Выпуклые функции и точки перегиба

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Определение 1 . Пусть функция определена на
. Точка называется стационарной точкой функции
, если
дифференцирована в точке и
.

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции) . Пусть функция
определена на
и имеет в точке
локальный экстремум. Тогда выполняется одно из условий:

Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.

Пример . Пусть
. Найти для нее точки, которые являются подозрительными на экстремум. Для решения поставленной задачи, в первую очередь, найдем область определения функции:
. Найдем теперь производную функции:

Точки, в которых производная не существует:
. Стационарные точки функции:

Поскольку и
, и
принадлежат области определения функции, то они обе будут подозрительными на экстремум. Но для того, чтобы сделать вывод, будет ли там действительно экстремум, надо применять достаточные условия экстремума.

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное условие локального экстремума) . Пусть функция
определена на
и дифференцирована на этом интервале везде за исключением, возможно, точки
, но в этой точке функция
является непрерывной. Если существуют такие правая и левая полуокрестности точки , в каждой из которых
сохраняет определенный знак, то

1) функция
имеет локальный экстремум в точке , если
принимает значения разных знаков в соответствующих полуокрестностях;

2) функция
не имеет локальный экстремум в точке , если справа и слева от точки
имеет одинаковый знак.

Доказательство . 1) Предположим, что в полуокрестности
производная
, а в

.

Таким образом в точке функция
имеет локальный экстремум, а именно - локальный максимум, что и нужно было доказать.

2) Предположим, что слева и справа от точки производная сохраняет свой знак, например,
. Тогда на
и
функция
строго монотонно возрастает, то есть:

Таким образом экстремума в точке функция
не имеет, что и нужно было доказать.

Замечание 1 . Если производная
при прохождении через точку меняет знак с «+» на «-», то в точке функция
имеет локальный максимум, а если знак меняется с «-» на «+», то локальный минимум.

Замечание 2 . Важным является условие непрерывности функции
в точке . Если это условие не выполняется, то теорема 1 может не иметь места.

Пример . Рассматривается функция (рис.1):

Эта функция определена на и непрерывна везде, кроме точки
, где она имеет устранимый разрыв. При прохождении через точку

меняет знак с «-» на «+», но локального минимума в этой точке функция не имеет, а имеет локальный максимум по определению. Действительно, около точки
можно построить такую окрестность, что для всех аргументов из этой окрестности значения функции будут меньше, чем значение
. Теорема 1 не сработала потому, что в точке
функция имела разрыв.

Замечание 3 . Первое достаточное условие локального экстремума не может быть использовано, когда производная функции
меняет свой знак в каждой левой и каждой правой полуокрестности точки .

Пример . Рассматривается функция:

Поскольку
, то
, а потому
, но
. Таким образом:

,

т.е. в точке
функция
имеет локальный минимум по определению. Посмотрим, сработает ли здесь первое достаточное условие локального экстремума.

Для
:

Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:

,

а потому в малой окрестности точки
знак производной определяется знаком второго слагаемого, то есть:

,

а это означает, что в любой окрестности точки

будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Действительно, рассмотрим произвольную окрестность точки
:
. Когда

,

то

(рис.2), а меняет свой знак здесь бесконечно много раз. Таким образом, нельзя использовать в приведенном примере первое достаточное условие локального экстремума.